gleichmässige konvergenz

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ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmässige konvergenz
Guten abend liebe leute,

hab jetzt schon seit geraumer zeit nix mehr mit analysis am hut gehabt, und muss mich jetzt wieder ein bißchen reinfinden in das ganze... also geduld bitte.

wir sollen zeigen, dass die funktionenfolge auf nicht gleichmässig konvergiert.

(Bin mir sicher, dass das schon öfter vorkam, habs nur nicht gefunden)

Meine frage nun: Kann man das mit dem Cauchy-Kriterium dann wie folgt quasi abschätzen:

man nimmt an es gäbe für alle einen Index , sodass für alle und alle :

für derart, dass und sollte dann gelten:



(weil, )

was ein widerspruch zu annahme ist, dass dies für alle gilt

Kann man das so machen?! (Abgesehen davon, dass es womöglich irgendwelche Sätze gibt, wonach diese folge gar nicht gleichmässig konv sein kann, weil die grenzfunktion nicht stetig ist, oder derartiges)

Bin mir nicht ganz sicher ob ich das alles richtig verstanden habe...

Vielen dank schonmal

Gruß Armin
Rheuma Kai Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
Du kannst hier etwas einfacher argumentieren.
Überleg Dir doch mal wie die Grenzfunktion aussieht.
Offensichtlich ist jedes stetig auf .
Wäre die Konvergenz gleichmäßig, dann müsste auf ebenfalls stetig sein...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
Also ohne bei dir jetzt viel näher hinzuschauen: der einzige Punkt, an dem die gleichmäßige Konvergenz schief geht, ist doch die 1. Nur da kannst du es widerlegen.

Wenn du ein Intervall bis 3/4 betrachtest, kann die Widerlegung eigentlich nicht klappen.



Grüße Abakus smile
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
@ abakus

Zitat:
Also ohne bei dir jetzt viel näher hinzuschauen: der einzige Punkt, an dem die gleichmäßige Konvergenz schief geht, ist doch die 1. Nur da kannst du es widerlegen.


Hmmm... Deshalb will ich doch das x so nah bei 1 wählen, dass , dass ich das dann eben so abschätzen kann, wie ichs versucht hab...

oder versteh ich da was falsch?

@ Rheuma Kai

Ja, das mag sein. Ich wollt sozusagen mit den "basics" auskommen. Dachte mir schon, dass man irgendwie so argumentieren kann... Nur: ich denk halt nicht, dass es bei dem beispiel darum geht, einfach nur die grenzfkt. anzugeben, die offensichtlich nicht stetig ist.

EDIT: Hmmm... das hab ich wohl doch nicht richtig verstanden... Aber prinzipiell ist die vorgehensweise doch richtig, oder?! Also wenn ich gleichmässige konvergenz widerlegen will, dann nehm ich ein x, das bestimmte bedingungen erfüllt und versuch dann zu zeigen, dass für ein bestimmtes epsilon und bestimmte indizes n, m die größer als N sind?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
Zitat:
Original von ArminTempsarian
Also wenn ich gleichmässige konvergenz widerlegen will, dann nehm ich ein x, das bestimmte bedingungen erfüllt und versuch dann zu zeigen, dass für ein bestimmtes epsilon und bestimmte indizes n, m die größer als N sind?

Also, bei etwas komplizierteren logischen Ausdrücken mache ich das immer wie folgt mit der Negation. Ich schreibe mir erstmal die positive Aussage mit Quantoren hin. Das wäre hier (glm. Konvergenz auf [0,1]):



Bei der Negation wird einfach alles umgedreht:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
Zitat:
Original von WebFritzi
Also, bei etwas komplizierteren logischen Ausdrücken mache ich das immer wie folgt mit der Negation.


Genau das ist die Ausnahme.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja. Ich hab doch auch geschrieben, dass ich es nur für mich so hinschreibe. Wenn ich es dann richtig aufschreibe, fasse ich das ganze natürlich in Worte. Allein schon deswegen, weil ich das Quantorenzeugs hässlich finde.
Rheuma Kai Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
Zitat:
Original von ArminTempsarian
@ Rheuma Kai

Ja, das mag sein. Ich wollt sozusagen mit den "basics" auskommen. Dachte mir schon, dass man irgendwie so argumentieren kann... Nur: ich denk halt nicht, dass es bei dem beispiel darum geht, einfach nur die grenzfkt. anzugeben, die offensichtlich nicht stetig ist.


Da kann ich Dir nicht ganz folgen, denn die allgemeine Aussage, daß eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen eine stetige Grenzfunktion hat läßt sich sehr leicht -mehr basic geht eigentlich kaum- beweisen.
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmässige konvergenz
@ rheuma kai

naja, mit "basics" meinte ich eben, dass man mit der Defintion der gleichmässigen konvergenz auskommt (cauchykriterium vielleicht auch noch). Deine Argumentation ist zwar leicht einsichtig - dass das mit der stetigkeit aber sooo leicht zu beweisen ist, stimmt aber nun auch nicht (bei uns immerhin ne halbe seite - wobei auch das cauchykriterium verwendet wird, und zu beweisen ist, dass , falls gleichmässig gegen konvergiert.) Oder so ähnlich...

Wie dem auch sei - ich wollts halt "direkt" machen, ohne über derartige Sätze zu gehen. Aber Danke trotzdem.

Gruss Armin
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