Definition von abgeschlosenen Mengen

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TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »
Definition von abgeschlosenen Mengen
Hi!

Ich habe über eine Möglichkeit gelesen "abgeschlosene Mengen" in einem metrischen Raum zu definieren. Nämlich mit Hilfe von Folgen. Und zwar so: Eine Menge A heißt abgeschlossen in M (M = metrischer Raum), wenn für jede beliebige Folge xn in A, für die ein x0 existiert mit
xn --> x0 gilt .

Irgendwie kann ich mit der Vorstellung gar nix anfangen. Sie ist auch nirgends erklärt. Sollte nicht, wenn man von einer Folge in A spricht, nicht sowieso alle Elemente der Folge in A liegen? Oder ist der Grenzwert der Folge nicht mehr Element einer Folge?

Für jede Anschauung dieser Deinition bin ich dankbar

Mfg

Tom
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von abgeschlosenen Mengen
Zitat:
Original von TomBombadil
Oder ist der Grenzwert der Folge nicht mehr Element einer Folge?


TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von abgeschlosenen Mengen
hmmm....ok. Aber das hilft mir noch nicht bei der Anschauung für die Definition. Das war meine eigentliche Frage. (wollte ich nur schreiben, damit nicht jeder denkt die Frage wäre mit der Antwort abgehandelt smile )
slyck Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir mal eine Kreis. Man kann vom Mittelpunkt in jede Richtung laufen, und macht immer kleinere Schritte, so daß man den Kreis nie verläßt (das entspricht einer Folge von Punkte, die immer dichter an den Rand kommen, ohne den Kreis je zu verlassen). Kannst du dir das vorstellen?

Wenn jetzt der Kreis abgeschlossen ist, dann ist der Grenzwert jeder dieser Folgen in der Menge mit drin - das entspricht genau der Randfläche des Kreises.

Wenn der Kreis offen ist, sind die Grenzwerte nicht mit in der Menge - der Rand des Kreises gehört also nicht mit zur Menge. Dann sind alle Elemente einer Folge weiterhin im Kreis, nur eben der Grenzwert gerade nicht.

Und: nein, der Grenzwert ist kein Element der Folge, er muß ja nicht angenommen werden ... er ist ja nur ein Wert, an den die Folgenglieder beliebig nah herankommen (ihn aber nicht unbedingt erreichen)

Hilft dir das ein bißchen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir wieder die Folge an = 1/n und denke ein bißchen über die offensichtlich nicht abgeschlossene Menge ]0,1] nach.
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man sich sehr hübsch aufmalen und überlegen. Also mit anderen Worten. Eigentlich sind die Folgen, die den "Rand" als Grenzwert haben diejenigen Folgen, die "entscheiden", ob die Menge abgeschlossen ist oder nicht. (auch das umfasst ja gerade der Begriff:"alle Folgen"). Aber könnte man nicht auch eine Folge finden(in der Menge A), die trotzdem einen Grenzwert außerhalb von A hat, obwohl diese abgeschlossen ist. (Also in der Zeichnungsvorstellung geht das). vielleicht gibt es noch eine andere Art das zu veranschaulichen

@ slyck erstmal vielen Dank

mfg tom
 
 
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

@ WebFritzi Aber ich dachte es geht um alle nur erdenklichen Folgen und mengen verwirrt
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch um alle erdenklichen folgen udn mengen, die folge und menge von WebFritzi ist nur ein weiteres Beispiel, wie der Kreis auch.

Bei einer abgeschlossenen Menge eine Folge mit Grenzwert außerhalb zu finden wird dir nicht möglich sein, damit hättest du keine abgeschlossene Menge mehr laut Definition... poste doch mal dein zeichnerisches Beispiel (beschreibs einfach), dir wird dann bestimmt gezeigt werden können wo der Haken ist

Beispiele für abgeschlossene Mengen:
- jedes geschlossene Intervall ist abgeschlossen, bzw. auch jede Menge, deren "Rand" mit zur Menge gehört (in C).
- Q ist nicht abgeschlossen, denn die Folge 1; 1,4; 1,41; 1,414 ... -> Wurzel(2) besteht aus rationalen Folgengliedern, hat aber einen Irrationalen Grenzwert...
- jeder einzelne Punkt ist abgeschlossen
- [0,oo) ist abgeschlossen, bzw. in C jede unendlich offene Menge, deren Rand im Endlichen mit zur Menge gehört (also z.B. z in C, bei denen der imaginärteil >= 0 ist)

Dann gibts noch ein paar Regeln:
- die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist ieder abgeschlossen
- die Schnittmenge beliebig vieler abgeschlossener mengen ist abgeschlossen
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann gibts noch ein paar Regeln: Dann gibts noch ein paar Regeln:
- die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist ieder abgeschlossen
- die Schnittmenge beliebig vieler abgeschlossener mengen ist abgeschlossen


Nebenbei:

Es gibt doch auch dieselben Regeln für offene Mengen. Eben, dass die Schnittmenge(bzw. Vereinigung) wieder offen ist. Was ist dann die leere Menge? Offen oder abgeschlossen?

Es ist glaube ich ganz schön schwierig, über das Internet klar zu machen, wo mein anschaulicher Gedankenfehler liegt. Ich will es einmal probieren (denn ich möchte nicht eure Nerven überstrapazieren und Forum Kloppe bekommen).

Wir nehmen das Bsp. von dem Kreis. Wir nehmen an er sei das Bild einer abgeschl. Menge A (also von mir aus eine durchgezogene Kreislinie). So nun haben wir einen Punkt x0, der deutlich außerhalb des Kreises liegt. Warum kann eine Folge in A nicht diesen Punkt als Grenzewert haben? Die Folge ist doch beliebig, also warum kann sie nicht auch auf diesen Punkt zuwandern, ohne weitere Punkte außerhalb von a zu besitzen? Also warum muß eine Folge in A, die einen Grenzwert außerhalb von A hat, immer den Kreisrand als Grenzwert haben?

Ich hoffe ich habe mich etwas verständlich ausgedrückt

Vielen Dank

Tom
Calculator Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner Frage:
Die leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen, denn die jeweilige Definitionen besagen "Jeder Punkt der Menge ist innerer Punkt" und "für alle Folgen mit....". Da ich aber weder irgendwelche Punkte noch Folgen in der leeren Menge habe, sind die Voraussetzungen falsch, also die Aussagen immer wahr.

Zu deinem Problem:
Wenn du einen Punkt x0 außerhalb deines abgeschlossenen Kreises A betrachtest, dann hat dieser Punkt einen positiven Abstand zu A.
Genauer: Der Abstand (in einem normierten Raum) ist definiert über

Hier gilt also
D.h. aber insbesondere das für JEDE Folge in A, ALLE Folgenglieder mindestens einen Abstand von d zu x_0 haben. Damit kann x_0 unmöglich der Grenzwert irgendeiner Folge aus A sein (denn zu existiert kein, so dass alle Folgenglieder ab N_0 einen Abstand kleiner als d/2 zu x0 haben. )
Ich hoffe, das war jetzt nicht zu ausführlich Augenzwinkern
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Salopp gesagt: dass dein Punkt grenzwert ist, bedeutet, dass in der Folge unendlich viele Folgengleider "ganz nah" an den Punkt herankommen. da die folgeglieder aber alle auf dem kreis liegen, können sie nicht beliebig nah ran, da dein punkt ja ein ganzes stück außerhalb liegt...
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