Beweis: zwei beschränkten Mengen mit Relation (Gleichung)

28.10.2004, 10:30

BrotkastenS1

Beweis: zwei beschränkten Mengen mit Relation (Gleichung)

Hallo,

ich versuche einen vernünftigen Ansatz zu folgender Aufgabe zu erhalten:

A,B $\begin{eqnarray*} \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ := {a+b: a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B}

Im Fall einer Einpunktmenge A = {a} schreiben wir auch a+B.

(a) Es seien $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ beschränkte Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} inf X_1 + inf X_2 \leq inf(X_1+X_2) \leq inf X_1+sub X_2 \leq sup(X_1 + X_2) \leq sup X_1 + sup X_2 \end{eqnarray*}$

(b) Es sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und X eine beschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

inf(a+X) = a+inf X,
sup(a+X) = a+ sup X.

Danke für die einführende Hilfe

28.10.2004, 13:01

x_in_Helfende

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RE: Beweis: zwei beschränkten Mengen mit Relation (Gleichung)
Hallo Brotkasten,

ich werde die Definition von A+B nocheinmal komplett in LaTeX wiederholen:
$\begin{eqnarray*} A+B:=\{a+b : a \in A, b \in B \} \end{eqnarray*}$
Die geschweiften Klammern kannst du mit \{ und \} schreiben.

Betrachten wir zunächst diese Ungleichung, die anderen (auch der b-Teil) verlaufen ähnlich:
$\begin{eqnarray*} \inf X_1 + \inf X_2 \leq \inf (X_1 + X_2) \end{eqnarray*}$

Wir benennen erstmal die drei Infima:
$\begin{eqnarray*} a := \inf X_1, b := \inf X_2, c := \inf(X_1 + X_2) \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist
a + b <= c.

Dazu nutzen wir die Definition von c als größte untere Schranke von X_1 + X_2:
Wir zeigen nämlich, dass a+b eine untere Schranke von X_1 + X_2 ist.
Ist dir klar, warum daraus a+b <= c folgt?

Sei nun also $\begin{eqnarray*} x \in X_1 + X_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} x_1 \in X_1, x_2 \in X_2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x = x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Was gilt nun für a und x_1, und was gilt für b und x_2?
Diese beiden Ungleichungen kannst du addieren...

Versuche nun, selbst weiterzukommen.

28.10.2004, 15:28

BrotkastenS1

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danke für den Tip mit den Klammern und die Verdeutlichung des Ansatzes. Jetzt ist mir dieser Beweis schon viel klarer.
Gruß BrotkastenS1.

28.10.2004, 17:25

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[latex]inf(X_1+X_2) \leq inf X_1+sub X_2 [/latex]

kannst dazu auchn denkanstoß geben? ich komm mit dem sup nicht ganz klar

28.10.2004, 17:35

pumuckl

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Zitat:

Original von dd
$\begin{eqnarray*} inf(X_1+X_2) \leq inf X_1+sup X_2 \end{eqnarray*}$

kannst dazu auchn denkanstoß geben? ich komm mit dem sup nicht ganz klar

Wenn du alle anderen ungleichungen schon gezeigt hast, speziell dass $\begin{eqnarray*} \sup (X_1+X_2) \leq \sup X_1+\sup X_2 \end{eqnarray*}$ , dann versuch mal die Gleichung umzuformen, $\begin{eqnarray*} \sup X_1 \end{eqnarray*}$ dazuaddiern z.B.

28.10.2004, 18:19

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habe nur das erste geschafft ( glaube ich ), da gilt doch

$\begin{eqnarray*} a \leq x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \leq x_2 \end{eqnarray*}$
==> $\begin{eqnarray*} a+b \leq x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$
==> $\begin{eqnarray*} a+b \leq c \end{eqnarray*}$

bei der 2ten soll man zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \inf(X_1+X_2) \leq \inf X_1+\sup X_2 \end{eqnarray*}$
man defniert noch
$\begin{eqnarray*} \inf (X_1+X_2) =:a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \inf X_1 =:b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup X_2 =:c \end{eqnarray*}$

z.Z. $\begin{eqnarray*} a \leq b+c \end{eqnarray*}$
Dazu nutzen wir die Definition von a als größte untere Schranke von $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 \end{eqnarray*}$
b+c ist eine untere Schranke von $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 \end{eqnarray*}$ ?!!

also gilt: (?)
$\begin{eqnarray*} b \leq x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c \geq x_2 \end{eqnarray*}$

daraus werde ich irgendwie nicht schlau

28.10.2004, 19:17

pumuckl

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nein, b+c ist ja größer als a und damit größer als die größte untere schranke - also keine untere schranke *fg*

sag jetzt einfach d ist = inf X1 + x2 wobei x2 beliebig aus X2 ist
und erweitere noch X1 um inf X1 zu X1*, gleiches mit X2 und (X1*+X2*),
es zeigt sich leicht, dass inf(X1+X2) = inf(X1*+X2*)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d \in (X_1 + X_2)^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mbox{inf}(X_1 + X_2) \leq d = \mbox{inf }X_1 + x_2 \leq \mbox{inf }X_1 + \mbox{sup }X_2 \end{eqnarray*}$

28.10.2004, 19:32

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omg..

ich versteh nix von dem was du da geschrieben hast :P
also das stimmt ?

$\begin{eqnarray*} a \leq x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \leq x_2 \end{eqnarray*}$
==> $\begin{eqnarray*} a+b \leq x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$
==> $\begin{eqnarray*} a+b \leq c \end{eqnarray*}$
für den ersten beweis... ?

27.10.2009, 15:04

lnaltu

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also ich komme bei der aufgab immernoch nicht weiter. Habe irgendwo gelesen dass man auf $\begin{eqnarray*} inf X_1 + inf X_2 = inf(X_1+X_2) \end{eqnarray*}$ kommen soll. Alles was ich schaffe ist zu zeigen dass es stimmen würde wenn inf X1 oder inf X2 zu ihre jeweilige mengen gehören, sie sind aber nicht unbedingt Minima. Help^^

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