Problem mit komplexen Zahlen 1 = -1 ?!

28.10.2004, 10:53	greggy80	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit komplexen Zahlen 1 = -1 ?! Hallo, ich habe ein Problem bei den komplexen Zahlen. In IC gilt $\begin{eqnarray} i= \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ . Gilt dann auch 1 = -1 - logisch natürlich nicht, aber was ist hiermit: $\begin{eqnarray} 1 = (-1)(-1) \Rightarrow 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = i * i = -1 \end{eqnarray*}$ Das klingt doch auch logisch, ist aber irgendwie falsch. Wir sollten den Fehler finden und ich hab keine Ahnung, wo der liegt... Kann mir jemand weiterhelfen?
28.10.2004, 11:16	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} i = \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ ist falsch! Es gilt lediglich $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \end{eqnarray}$ . Die Wurzelfunktion gibt es in C nicht.
28.10.2004, 13:19	Zusatz	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt in C schon sowas wie eine Quadratwurzelfunktion, aber mit der muss man sehr vorsichtig umgehen! Man kann z.B. als $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ diejenige komplexe Zahl definieren, deren Quadrat gleich x ist, und die einen positiven Realteil hat oder den Realteil 0 und nichtnegativen Imaginärteil hat. Damit wird die Wurzelfunktion zu einer gewöhnlichen Funktion von C nach C. Allerdings gelten dann die Potenzgesetze nicht mehr uneingeschränkt. Eines der nicht allgemeingültigen Potenzgesetze ist gerade die verwendete Gleichung $\begin{eqnarray} \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} =\sqrt{ab} \end{eqnarray}$ Es ist also $\begin{eqnarray} \sqrt{-1} = i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{(-1)(-1)} = 1 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = i\cdot i = -1 \neq 1 \end{eqnarray}$ . Eine ganz andere Interpretation der Wurzelfunktion ist, sie als eine Funktion aufzufassen, die eine Menge von komplexen Zahlen liefert, nämlich einfach alle Wurzeln auf einmal. In diesem Sinne ist $\begin{eqnarray} \sqrt{-1} = \{i, -i\} \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} i \in \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -i \in \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ . (Ich gebe zu, das ist etwas gewöhnungsbedürftig.) Hier gelten die Potenzgesetze nun wieder, aber als Gleichungen von Mengen: $\begin{eqnarray} \{1,-1\} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = \{i,-i\}\cdot\{i,-i\} = \{i^2, -i^2\} = \{1, -1\} \end{eqnarray}$
28.10.2004, 16:25	harre	Auf diesen Beitrag antworten »
das geht am besten, indem man die terme in etwa so hinschreibt e^(1/2)ln(-1)(-1) und dann mit dem hauptwert des logarithmus rechnet ln(z) = ln\|z\| + i*arg(z)

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