Vollständige Induktion bei Produkten

28.10.2004, 12:31	ganymed	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion bei Produkten Hallo Leute, ich steh etwas auf dem Schlauch bei einer vollständigen Induktion. Die Aufgabe lautet: Für welche ganzen Zahlen gilt die Aussage: $\begin{eqnarray} \prod_{k=2}^m (1-\frac{1}{k^{2}}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} (1+\frac{1}{m}) \end{eqnarray}$ Den Induktionsanfang hab ich gemacht für m=2. Dan kommt auf beiden Seiten 3/4 raus. Daraus schließt man ja, dass es auch für (m+1). Und jetzt kommt mein Hänger. Wie rechne ich den Induktionsschritt aus? ( Hab das Produkt zeichen nicht im Formeleditor gefunden.) LG ganymed
28.10.2004, 12:32	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion bei Produkten $\begin{eqnarray} \prod \end{eqnarray}$ \prod
28.10.2004, 18:53	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich mach mal schnell den induktionsschritt, ist aber nicht anders als andere induktionen auch, du mußt auflösen und unbedingt das gewünschte ergebnis im auge behalten! $\begin{eqnarray} \prod_{k=2}^{m+1}~(1- \frac{1}{k^2}) = \prod_{k=2}^{m}~(1- \frac{1}{k^2})(1- \frac{1}{(m+1)^2}) = \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{m})(1- \frac{1}{(m+1)^2}) = \frac{1}{2} +( \frac{1}{2m}- \frac{1}{2(m+1)^2}- \frac{1}{2m(m+1)^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}+ \frac{(m+1)^2-m-1}{2m(m+1)^2}= \frac{1}{2}+ \frac{m^2+m}{2m(m+1)^2}= \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}* \frac{m(m+1)}{m(m+1)^2}= \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{m+1}) \end{eqnarray}$ zufrieden?!
28.10.2004, 21:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht auch einfacher und ganz direkt durch Kürzen: $\begin{eqnarray} \frac{2^2-1}{2^2}\cdot \frac{3^2-1}{3^2}\cdots \frac{m^2-1}{m^2}=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\cdots \frac{(m-3)(m-1)}{(m-2)^2}\cdot \frac{(m-2)\cdot m}{(m-1)^2}\cdot \frac{(m-1)(m+1)}{m^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot \frac{3\cdot 5}{4^2}\cdot \frac{4\cdot 6}{5^2}\cdot \cdots \frac{(m-3)(m-1)}{(m-2)^2}\cdot \frac{(m-2)\cdot m}{(m-1)^2}\cdot \frac{(m-1)(m+1)}{m^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{m+1}{m}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{m+1}\right) \end{eqnarray}$
28.10.2004, 22:35	ganymed	Auf diesen Beitrag antworten »
VIelen Dank. Mir ist es dann wie Schuppen von den Augen gefallen. LG ganymed
29.10.2004, 12:04	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
@mss: also einfacher find ich das nicht, denn da muß man erstmal draufkommen.. die vollständige induktion löst sich ja eigentlich von selbst!
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29.10.2004, 16:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab mich falsch ausgedrückt! MMn gehts auch einfacher
31.10.2004, 23:29	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
was heißt "MMn"?
31.10.2004, 23:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
MMn oder innerhalb des Satzes, wo es meistens verwendet wird, mMn heißt soviel wie "meiner Meinung nach".

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