Fläche eines Vielecks

Neue Frage »

blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche eines Vielecks
Hallo. Wir haben leider noch nicht Triogeometrie durchgenommen und daher bin ich in Sachen sin, cos und tan ein Anfänger.

Mein Ziel ist es, die Fläche eines regelmäßigen Vielecks zu errechnen, wenn nur die Seitenlänge a und die Anzahl der Ecken n gegeben ist.

Als Anhang ist ein Auszug aus meiner Formelsammlung mit eigner Beschriftung gezeigt.

Ich benötige nun für die Ausrechnung der Fläche entweder h oder r. Ich möchte r berechnen.

Mein Lehrer meinte:







Ich kann diesen Rechenweg leider nicht nachvollziehen und vermute einen Fehler meines Lehrers. Ich habe also selber in der Formelsammlung geguckt und selbst die Fläche errechnet:

Meine Berechnung:

(behoben)





Nach einer Testrechnung hat sich ergeben:



-> Was ist nun richtig?

\\EDIT by sommer87: Latex verbessert: für ° im Latex besser ^\circ benutzen Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, nicht 360°.
Die Formel deines Lehrers ist auf jeden Fall richtig, und vor allem: einfacher!
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Danke für den Tipp.



Ich hatte mal versucht, den Flächeninhalt aufzuschreiben und ihn zu vereinfachen. Am Ende haben die einzelnen Gleichungen aber nicht mehr gestimmt. Ich versuche es nocheinmal









Ich habe noch eine Fragen:
1. Ist alles korrekt? Geht es noch weiter zu vereinfachen?
2. Ist es möglich, n zu berechnen, wenn A und a gegeben ist?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ist alles korrekt?

nein, muss so lauten




Geht es noch weiter zu vereinfachen?

ja


Ist es möglich, n zu berechnen, wenn A und a gegeben ist?

ja

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:



Diese Formel kannst du auf anwenden. Darüberhinaus kannst du den Tangens oder Cotangens ins Spiel bringen:



Eine formelmäßige Auflösung nach bei gegebenem und ist auf dem Wege von Äquivalenzumformungen nicht möglich.

Aber da ja eine ganze Zahl sein muß, kann man die Lösung bei konkreten Zahlenwerten doch schnell durch planvolles Probieren finden.
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Poff.

Danke für die Korrektur. Ich habe lange nachdenken müssen, wo die 1 herkommt. Ich versuche es jetzt weiter, indem ich die Klammer auflöse:











@Leopold: Leider haben wir Triogeometrie noch nicht durchgenommen und ich kann mit cos, tan und sin nichts anfangen. Ich selbst habe nur die Berechnungen aus der Formelsammlung abgeguckt. Kannst du mit der Cotangens meine Formel noch vereinfachen?

Oder an alle: Geht es noch einfacher? (Wenn Fehler drin sein sollten, bitte sagt es mir)
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hast du da im Nenner ein Quadrat unterschlagen (Sinus).
Im übrigen hat dir Poff das richtige Ergebnis doch schon aufgeschrieben.
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Ich habe den Fehler korrigiert. Ich glaube weiter geht es nicht mehr zu vereinfachen.
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt löse ich noch nach auf:













Danke für die Hilfe. Sollte es noch etwas anzumerken geben z.B. eine weitere vereinfachung der Formel oder eine Korrektur, so schreibt es mir bitte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst das etwas umständlich. Ich würde zunächst nach auflösen und erst ganz zum Schluß die Wurzel ziehen.

Hier die Formel mit dem Cotangens/Tangens (wie du sie bekommst, habe ich oben beschrieben):



Und übrigens: Die Wurzel aus 8 ist nicht 4.
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Ich habe die Wurzel verbessert - obwohl ich ein relativ guter Matheschüler bin, mache ich immer ziemliche Leichtsinnsfehler.

Die Berechnung über cot lasse ich lieber, da es ein bißchen zu verwirrend ist. Jetzt habe ich ja meine 2 gewünschten Auflösungen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Cotangens-Formel ist schon hübscher. Das mußt du wohl zugeben ...
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Form ist wirklich einfacher.

Ich forme mal nach um, mit Verwendung deiner Form von :













// EDIT: Desweiteren vereinfache ich die deine Form von noch ein wenig.





Poff Auf diesen Beitrag antworten »

so 'macht' man das aber nicht.

entweder du bleibst bei der vorletzten Gl. und ziehst nur noch
die 2 raus, oder du formst das so um

a = 2/n * sqrt( A*n*tan(180/n) )

Augenzwinkern
blackdrake Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erinnere mich: RS 9. Klasse - Wurzel im Nenner durch Multiplikation der selben Wurzel beseitigen (= entschärfen smile ).









Danke für den Denkanstoß.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »