gruppentheorie - absolute basics

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flixgott Auf diesen Beitrag antworten »
gruppentheorie - absolute basics
hallo leute,
ich habe gerade die aufgabe zu zeigen, dass es zu jeder natürlichen zahl ein gruppe mit n elementen gibt. erscheint mir ja auch logisch, aber irgendwie habe ich keine beweisidee. d.h. das einzige was ich mir so ein bischen überlegt habe währe die vollständige induktion, aber so richtig führt mich das irgendwie nicht zum ergebnis.. währe schön, wenn mir da jemand mal auf die sprünge helfen könnte.
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Das Stichwort hierzu sollte "zyklische Gruppen" oder "Restklassengruppen" sein.

Gruesse Carsten
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es denn zu jeder restklasse eine gruppe? ich dachte, dass ist nur so, wenn ich den rest bzgl einer primzahl ausrechne!
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, jede Restklasse bildet einen Ring mit 1. Aber nur dann ist Körper, wenn m Primzahl ist.
Nimm mal als Gruppenverknüpfung die Restklassenaddition und prüfe die Gruppenaxiome.
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

naja das hab ich mir ja schon gedacht, aber der lösung meines ursprünglichen problems bin ich irgendwie noch nicht näher gekommen ... unglücklich
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du für jede natürliche Zahl die Existenz einer Gruppe beweist, so bist du doch fertig.

Für n=1 kann man z.B. die Multiplikation und {1} nehmen.

Für n>1 die schon angesprochene Restklassenaddition mit der Menge .

1. Neutrales Element:

2. Inverses Element:

Das lässt sich ganz einfach überprüfen. Du musst zeigen:



Dann bist du schon fertig.
 
 
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