nochmal zur unendlichkeit von zahlbereichen

28.10.2004, 19:11

flixgott

nochmal zur unendlichkeit von zahlbereichen

gibt es zwei irrationale zahlen, zwischen denen keine rationale zahl liegt? nach dem unendlichkeitsbegriff (reelle zahlen sind gleichmaächtig zur potenzmenge der rationalen) sollte es ja so sein.. aber wenn dem so währe, dann müßten sich ja eigentlich dafür auch repräsentaten finden lassen... kann mal jemand diesen gedankenknoten lösen!?

28.10.2004, 19:19

Leopold

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Zwischen zwei beliebigen irrationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen. Grund: Die rationalen Zahlen wie auch die irrationalen liegen dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Du mußt den Mächtigkeitsbegriff, der nur etwas über den "Umfang" einer Menge aussagt, von der Ordnung, wie sie durch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ definiert wird, unterscheiden.

31.10.2004, 23:42

flixgott

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ja das weiss ich ja, für mich sind mengen gleichmächtig, wenn die definition einer bijektion möglich ist. ich bin ja auch absolut davon überzeugt, dass die menge der irrationalenen zahlen mächtiger ist als die rationalen (diagonalisierungsbeweis) aber wenn ich zwischen je zwei irrationalen zahlen noch eine rationale finde, dann kann ich doch jeder irrationalen zahl auch eine rationale zahl zuordnen.. das würde jetzt die übermächtigkeit der irrationalen zahlen ein bischen infrage stellen! wo ist mein denkfehler?

01.11.2004, 00:17

Leopold

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Das ist ja das "Verrückte" an der Lage von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , daß trotz der Abzählbarkeit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt:

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

01.11.2004, 13:13

pumuckl

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fixgott: dein Denkfehler liegt darin, dass du die zuordnungsvorschrift einfach nicht aufstellen kannst. du kannst die irrationalen zahlen nicht einer nach der anderen abzählen um jeder eine rationale Zahl zuzuordnen, und du kannst genausowenig eine allgemeine zuordnungsvorschrift aufstellen mit der du alle irrationalen zahlen erschlägst...

14.04.2005, 23:59

Karl2

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Zitat:

wenn ich zwischen je zwei irrationalen zahlen noch eine rationale finde, dann kann ich doch jeder irrationalen zahl auch eine rationale zahl zuordnen..

Zwischen zwei irrationalen Zahlen findest du überabzählbar viele irrationale Zahlen und abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.

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