Ungleichung zeigen (mit Dreiecksungleichung)

28.10.2004, 22:41

Emp

Ungleichung zeigen (mit Dreiecksungleichung)

Hi Leute,
Habe ein Problem, ich soll folgendes zeigen

a,b sind beliebige reelle Zahlen.
Man zeige:
|a|+|b| kleinergleich |a+b|+|a-b|

Hinweis: Man benutze die Dreiecksungleichung
|a|+|b| größergleich |a+b|
bzw
| |a|-|b| | kleinergleich |a+b|

für x=a+b und y=a-b

Dass das ganze stimmt ist ja irgendwie einsichtig, aber wie zeige ich es? Ich bekomme es einfach nicht aufgeschrieben. Hilfe

29.10.2004, 22:18

Mathespezialschüler

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Also ich bin bis jetzt "nur" auf folgenden Weg gekommen:

Wende auf $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a-b| \end{eqnarray*}$ die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} |a|+|b|\geq |a+b| \end{eqnarray*}$ an, und zwar einmal für $\begin{eqnarray*} |a+b|+|a-b| \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} |a+b|+|b-a| \end{eqnarray*}$ !

Zeig erstmal, was du da rausbekommst, dann geb ich den nächsten Tipp Augenzwinkern

01.11.2004, 11:47

mugelor

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Hallo, ich bin ein erstsemestler, und verstehe das Prinzip bei Ungleichungen bzw. diese komische Abschätzung fast nicht. wie meinst du genau, man soll darauf die Dreiecksungleichung anwenden??
meinst du man soll beweisen,
das bei la+bl + l a-bl <gleich lal + lbl + la-bl ist, oder wie ist dieses anwenden gemeint verwirrt

. soll man bei der aufgabe eventuell eine fallunterscheidung machen, damit man die beträge auflösen kann, weil nur mit beträgen rechnen, geht ja irgendwann nicht mehr.
dann habe ich noch ne frage, und zwar darf ich schreiben?
l a+bl = la+b+b-bl und dann einfach das -b rausziehen, als la+2bl +l-bl?? aber das wäre ja dann größer als la+bl, oder?? aber ist das auch ne idee um so abzuschätzen und weiter zu kommen, sorry. bin noch so neu und diese denkstrukturen unglücklich

01.11.2004, 20:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mugelor
das bei la+bl + l a-bl <gleich lal + lbl + la-bl ist, oder wie ist dieses anwenden gemeint verwirrt

. soll man bei der aufgabe eventuell eine fallunterscheidung machen, damit man die beträge auflösen kann, weil nur mit beträgen rechnen, geht ja irgendwann nicht mehr.

Ne, so meine ich das nicht! Ich meine es so: Die Dreiecksungleichung für zwei Zahlen x und y heißt ja

$\begin{eqnarray*} |x|+|y|\geq |x+y| \end{eqnarray*}$

Das sollst du anwenden auf $\begin{eqnarray*} x=a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=a-b \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von mugelor
dann habe ich noch ne frage, und zwar darf ich schreiben?
l a+bl = la+b+b-bl und dann einfach das -b rausziehen, als la+2bl +l-bl?? aber das wäre ja dann größer als la+bl, oder?? aber ist das auch ne idee um so abzuschätzen und weiter zu kommen, sorry. bin noch so neu und diese denkstrukturen unglücklich

Ja, das darfst du machen, man addiert oft so die Zahl 0, um so dann abzuschätzen. Aber hier bringt das nich so viel. Bei deinem Beispiel bekäme man

$\begin{eqnarray*} |a+b|\leq |a+2b|+|b| \end{eqnarray*}$

, das ist auf jeden Fall richtig Augenzwinkern

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