Aquivalenzrelation

29.10.2004, 17:16	mac_shorty	Auf diesen Beitrag antworten »
Aquivalenzrelation Hi, ich bin neu hier, habe folgende Aufgabe und möchte wissen ob meine Ergebnisse so stimmen. Die Relation $\begin{eqnarray} {R} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} {a} R {b} : \Leftarrow\Rightarrow {a} - {b} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray} {R} \end{eqnarray}$ eine Aquivalenzrelation ist. Das beweise ich dadurch, dass die Relation symmetrisch, transitiv und reflexiv ist. Reflexivität: Bedingung: {(a,a) \| a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ } c R Beweis: wenn a=b -> a R b <=> a-a=0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ Symmetrie: Bedingung: $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ a, b, $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ : ( a R b <=> b R a ) Beweis: Wenn a-b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dann gilt: -(a-b) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ = -a+b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ = b-a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ Daraus folgt: b-a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ <=> b R a Transitivität: Bedingung: $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ a, b, c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ( a R b und (ka wie das zeichen geht) b R c -> a R c ) Beweis: Wenn a-b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und b-c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , dann gilt (a-b)+(b-c) -> a-c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -> a R c 2. Aufgabe: Finden Sei auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Relation, die symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv ist. Meine Lösung: Die Relation in Aufgabe 1 trifft auf alle drei Axiome zu. Damit die Relation symmetrisch und transitiv ist, aber nicht reflexiv sein soll muss gelten, dass die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {0} gilt. Also: $\begin{eqnarray} {a} R {b} : \Leftarrow\Rightarrow {a} - {b} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {0} 3. Aufgabe: Da hab ich leider keine Ahnung vielleicht kann mir jemand helfen Finden Sie auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Relation, die symmetrisch, reflexiv aber nicht transitiv ist. Vielen Dank im voraus
29.10.2004, 23:23	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aquivalenzrelation Hallo mac_shorty, die erste Aufgabe ist korrekt Die zweite nicht ganz, da hättest du die anderen beiden Axiome auch nochmal neu durchdenken müssen. Es kann nämlich a-c=0 sein und damit nicht a R c, obwohl a R b und b R c. Gruß vom Ben
30.10.2004, 13:17	mac_shorty	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Transitivität und Symmetrie Hi! Hatte gestern eine Aufgabe reingestellt. Und zwar sollte ich eine Relation auf IR finden die symmetrisch, transitiv aber nicht reflexiv ist. Meine Lösung war: a ~ b : <--> a - b Element Q \ {0} Ben Sisko meint nun dass das nicht ganz stimmt denn es könnte sein dass bei der Transitivität a-c = 0 sein kann und dann hätte ich auch keine Transitivität. Nun habe ich mir das nochmal überlegt: Es könnte ja eigentlich nur nicht transitiv sein wenn a = c wär. Jetzt weiß ich aber garnicht ob das erlaubt dass a = c . Wenn ich mir beispielsweise nämlich für a = 5 für b = 3 und für c = 1 vorgebe dann ist es transitiv : 5-3=2 3-1=2 5-1=4 Also was muss ich hier wissen? Genau sie selbe Frage könnte ich auch zur Symmetrie stellen weil wenn a = b gelten dürfte dann ging es ja auch nicht Wenn es doch gelten sollte bitte ich um HIlfe wie man sowas schreiben könnte
30.10.2004, 13:25	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Transitivität und Symmetrie Hallo mac_shorty, warum machst du denn einen neuen Thread dazu auf, man kann doch hier weiterdiskutieren. Hab sie zusammengefügt. Sieh dir folgendes Beispiel an: a=1, b=2, c=1. Dann ist a-b=-1 , also a R b und b-c=1, also b R c, aber a-c=0, deswegen nicht a R c. Das ist ein Gegenbeispiel für die Transitivität deiner Relation. Das du ein Beispiel gefunden hast, wo´s funktioniert, spielt dabei keine Rolle, entscheidend ist, dass es ein Beispiel gibt, wo´s nicht funktioniert, denn es müsste ja für alle gelten. Gruß vom Ben
30.10.2004, 13:54	mac_shorty	Auf diesen Beitrag antworten »
HI Ben! Das ist mir ja schon klar dass wenn a = c ist dass dann 0 rauskommt. Meine Frage ist jetzt nur ob man das irgendwie ausgrenzen kann dass eben nicht gilt dass a = c . Oder macht man das nicht und ich muss mir einfach selber was ganz neues ausdenken. Wenn ja dann hab ich noch was vor mir, weil sowas selber ausdenken ist gar nicht so leicht wenn man es noch nie gemacht hat Gruß Shorty
31.10.2004, 18:49	mac_shorty	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal! Hab mich ja zuletzt an den Ben gewendet, vielleicht kann mir ja auch noch jemand anders die letzte Frage beantworten, wär nett. Danke
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