Tetraeder Volumen

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Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder Volumen
Hallo,

Ich hab folgendes Problem:

Und zwar soll ich das Volumen eines Tetraeders berechnen. Muss bei einem Tetraeder nicht jede Seite gleich lang sein? Weil ja alle dreiecke auch deckungsgleich sind?!


Bei mir sind aber die Vektoren alle unterschiedlich lang...also unterschiedliche Beträge..

Und is die Vol. Formel richtig?

V= Wurzel(2) / 12 * a³

Is ganz dringend...wer will kann auch die Eckpunktkoordinaten haben.

Im Raum sei ein Tetraeder durch die Koordinaten seiner Eckpunkte P1, P2, P3 und P4 gegeben:

P1: x = 1 y = -2 z = -1
P2: x = -1 y = -7 z = -4
P3: x = 1 y = -7 z = 1
P4: x = 6 y = 3 z = 4

a) Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders sowie die Länge und den Fußpunkt der Höhe von P4 auf die
Grundfläche durch P1, P2, P3 !
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Es steht fest, dass mit diesen Angaben KEIN regelmäßiger Tetraeder vorliegt. Wohl aber eine unregelmäßige, dreiseitige, u. U. auch schiefe Pyramide. Deren Volumen kannst du vektoriell recht einfach berechnen (V -> 1/6 mal Spatprodukt!)

Die von dir angegebene Formel gilt nur für den regelmäßigen Tetraeder.

Gr
mY+
 
 
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

aha aha....

Also is die Aufgabenstellung nich gut formuliert....is ja dann garkein Tetraeder

alles klar, na dann...

aus was muss ich denn das Spatprodukt bilden?
Also aus welchen Vektoren, das blick ich grad nicht... Hammer

P1 -> P2
P1 -> P3
P1 -> P4

aus diesen drei Vektoren denke ich....P1,P2,P3 sind die Eckpunkte der dreieckigen Grundfläche und P4 die "Spitze" des Körpers?

danke schon einmal für deine Hilfe, rechnen kann ich dann allein Freude
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ist schon ein tetraeder, nur - wie mythos schon geschrieben hat - KEIN regelmäßiges.
zitat wikipedia:
Ein Tetraeder (v. griech.: tetráedron = Vierflächner) ist ein Körper mit vier Seitenflächen.

den spat spannen die von dir angegebenen vektoren auf.
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

So, das hab ich jetzt..

Jetzt soll ich die Länge und den Fußpunkt der Höhe berechnen.

Ich dacht mir, is ja kein Problem, man hat ja P4 und brauch nur noch den Fußpunkt, daraus kann man dann die Länge(Betrag) errechnen.

Jetzt bin ich mir aber nicht sicher ob der Fußpunkt gleich Mittelpunkt des Umkreises oder des Inkreises ist...

Habt ihr da eine Idee?
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin eher für Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden...

Damit rechne ich jetzt ersteinmal....
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

starker verdacht: weder noch.


bastle eine gerade durch den 4. punkt mit dem normalenvektor der grundfläche (welcher verwirrt )

werner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenmat
Ich bin eher für Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden...

Damit rechne ich jetzt ersteinmal....


wie bestimmst du den eigentlich verwirrt
aber ich denke, das ist zeitvergeudung, wenn du dein ursprüngliches problem lösen willst.
als übung finde ich es toll Big Laugh
werner
mexx Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag, ich bin der Neue und möchte bei der Lösung der Aufgabe behilflich sein. Wink

Wernerrins Weg ist die eine Möglichkeit, wenn man alles noch etwas ausführlicher machen möchte. Später allerdings, besonders in der Klausur, wirst du dich evtl. beeilen müssen. In solchen Fällen solltest du die Hesse'sche Normalenforum benutzen. Für den Anfang und wenn du die Hesse'sche Normalenform nicht kennen solltest, würde ich aber Möglichkeit 1 nehmen.
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich ja auf einen witzigen Lehrenden getroffen...

Is diese Gerade durch P4 und mit dem Normalenvektor dann meine Höhe?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du schneidest die gerade mit der ebene, der schnittpunkt ist der lotfußpunkt F, den wolltest du ja auch.
und der abstand zwischen F und P4 (?) ist die gesuchte höhe.

wenn du nur die höhe brauchst, geht es schneller mit der HNF.
im ernst
werner
mexx Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Gerade ist nicht die Höhe, da, um es etwas vereinfacht zu erklären, eine Gerade unendlich lang ist, eine Höhe jedoch eine bestimmte Länge hat.

Solltest du die Gerade durch P4 mit der Richtung des Normalenvektors der Ebene bestimmt haben, benötigst du nun den Schnitt dieser Geraden mit der Grundfläche. Bestimme diesen Schnittpunkt. Wie es dann weitergeht, findest du evtl. selber heraus.
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

So, bin jetzt bei der Länge der Höhe

Im Moment überleg ich noch....man könnte es ja über nen Dreieck berechnen.

In dem Mann einen Eckpunkt und den Fußpunkt nimmt oder? dann die zwei Geraden und die dritte berechnen....

oder gibts da ne richtige Formel für Abstandsberechnung
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

neben lustig bin ich auch sarkastisch Big Laugh
hast du meinen beitrag nicht gelesen verwirrt
noch einmal:
nehmen wir als grundfläche die ebene E(P1P2P3).
1)diese bringst du in koordinatenform.
2) mit dem normalenvektor von E eine gerade g durch P4 aufstellen.
3) der schnittpunkt von g mit E ist der lotfußpunkt F der höhe.
4)der betrag des vektors FP4 ist die gesuchte höhe.

nix dreieck und so.

alternativ kannst du aus dem volumen des spates die höhe nach
berechnen. die grundfläche kannst du über das vektorprodukt ermitteln.
den lotfußunkt bekommst du damit ebenso wenig wie mit der HNF.


werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, das ist mir aufgefallen als ich den Dreieck mist versucht habe.

Habe jetzt alles. Jetzt kommt aber der nächste Hammer...

Bestimmen Sie die parameterfreie Gleichung einer Ebenen E, die parallel zur Grundfläche durch P1, P2, P4
verläuft und die Kante P1P3 in deren Mittelpunkt schneidet.


Ich muss also eine paralelle Ebene zu E1 (P1P2P4) finden und diese muss auch noch den Mittelpunkt P1P3 schneiden..... traurig verwirrt

totale Ratlosigkeit....

Soll ich die Ebene spiegeln?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

da hast aber nicht sehr aufgepaßt in der schule, oder verwirrt

1) stelle die ebene E(P1,P2;P4) in koordinatenform auf.
damit hast du den normalenvektor der gesuchten ebene, sie soll ja parallel sein.
2) bestimme den Mittelpunkt M(P1,P3) =1/2(P1+P2).
3) stelle die ebene durch M mit dem normalenvektor von E auf.

net viel hammer

werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub als Gott das Mathematische Verständnis verteilt hat, hat er sich bei mir verzählt...

Na dann werd ich mich mal ran machen....



Nächste Hürde:

Ich soll für diesen Tetraeder den Mittelpunkt und den Radius der Umkugel berechnen..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es denn tatsächlich eine gibt, lautet die übersetzung so: ermittle die gleichung der kugel durch die 4 punkte P1 bis P4.

also methode brut: alle 4 punkte in die kugelgleichung einsetzen und ausbrüten.

methode elegante: stelle 3 senkrechte ebenen durch die mittelpunkte der 3 verbindungsstrecken P1P2 usw. auf und schau, ob es einen gemeinsamen punkt gibt, das wäre dann der mittelpunkt der kugel.

werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich eigentlich die Ebene aufstellen wenn ich nur Mittelpunkt und Normalenvektor habe?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

oje, wieder nicht aufgepaßt verwirrt
sei der normalenvektor

und der mittelpunkt der strecke P1P2

so hast du


(schon für den kugelmittelpunkt.)

alles klar verwirrt

werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich grad nicht, Ich hab ja von der Gesuchten ebene nur den N-Vektor gegeben und den Mittelpunkt...

Ich brauch doch aber noch was um eine ebene aufzustellen oder?
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

das ist jetzt die Ebenengleichung der gesuchten Ebene?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ist nur als beispiel für die umkugel gedacht, damit du die methode siehst.
wenn du punkt und normalenvektor hast, genügt das, um die ebene aufzustellen.
im gegensatz zur parameterform, deren es viele gibt, die dieselbe ebene beschreiben, ist die koordinaten bzw. normalvektorform eindeutig.




ergibt die ebene in koordinatenform



werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

um nochmal auf 19:34 zurück zukommen,

wäre n nicht (-2/5/3)

P2-P1 : -1 - 1 is doch -2 oder nicht?!!?!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das wäre x1 von P1P2! der rest ist falsch.



aber es ist egal, ob du P1P2 oder P2P1 nimmst.
dann hast du halt statt 2/5/3 -2/-5/-3
also den normalenvektor n = -n
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt den Mittelpunkt, wie komm ich denn zum Radius?

Ich hab in meinen aufzeichnungen leider keine Formel
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir die koordinaten von M verraten verwirrt
zu deiner frage: einfach den abstand MP1 bestimmen Big Laugh
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich hab jetzt alle meine AUfgaben zusammen...

Ich danke dir recht herzlich..."Mein Mathegott" Gott

Und verzweifle nciht an mir.... Hammer
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das freut mich für dich Freude

werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

soo, leider muss ich die eine aufgabe nocheinmal machen, da wohl irgendwas nicht stimmt....

Im Raum sei ein Tetraeder durch die Koordinaten seiner Eckpunkte P1, P2, P3 und P4 gegeben:
P1: x = 1 y = -2 z = -1
P2: x = -1 y = -7 z = -4
P3: x = 1 y = -7 z = 1
P4: x = 6 y = 3 z = 4

a) Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders sowie die Länge und den Fußpunkt der Höhe von P4 auf die
Grundfläche durch P1, P2, P3 !

b) Bestimmen Sie die parameterfreie Gleichung einer Ebenen E, die parallel zur Grundfläche durch P1, P2, P4
verläuft und die Kante P1P3 in deren Mittelpunkt schneidet.


Meine Lösungen:

V= 1/6 x Spatprodukt

Spatprodukt ist bei mir 8...das mal 1/6...= 1,3333


Fußpunkt berechnen:

Gerade aufstellen aus Normalenvektor (-2/-6/0) und P4 (6/3/4)

g1:

x= 4 - 6t
y= -1 -5t
z= -7+7t


Diese Gerade mit Ebene (P1P2P3) schneiden:

S(1,14/-3,38/-3,66) = Fußpunkt

so, jetzt noch die Länge: Also Abstand P4 zu PF(Fußpunkt)

P4 - PF = 2,86/2,38/-3,34

quadrieren..Wurzel = 24,996 LE

das war a...ob das mal jmd. überprüfen könnte, ich hab nach langer Suche keine Fehler gefunden, also entweder liegt der Fehler, bei AUfgabe b oder ich hab irgendwo nen groben Fehler drin..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung, was du da zaubertst.
schaut leider ziwmlich falsch aus.
wie lautet denn die gleichung der ebene durch P1, P2 und P3?
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

E:

-3 +3r +0s
1 -7r -6s
7 -9r -2s


von zaubern hat mein Mathe lehrer auch immer gesprochen....
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist zunächst keine ebene. da fehlt (zumindest) x = ....
aber wie kommst du den auf dies zahlen verwirrt verwirrt
allein der aufpunkt ist mir unverständlich
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

na, mit der drei Punkte Gleichung für die Ebene,

p + r(q-p)+ s(r-p)

PQR die drei Punkte...r und s als parameter...
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

Is denn das Volumen und die Gerade richtig?
Also liegt es nur ander flaschen Ebene und dem daraus resultierenden Schnittpunkt?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mexx
Guten Tag, ich bin der Neue und möchte bei der Lösung der Aufgabe behilflich sein. Wink

Wernerrins Weg ist die eine Möglichkeit, wenn man alles noch etwas ausführlicher machen möchte. Später allerdings, besonders in der Klausur, wirst du dich evtl. beeilen müssen. In solchen Fällen solltest du die Hesse'sche Normalenforum benutzen. Für den Anfang und wenn du die Hesse'sche Normalenform nicht kennen solltest, würde ich aber Möglichkeit 1 nehmen.


da mußt genauer lesen: damit kannst du den lotfußpunkt nicht ermitteln.
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

E: - 35 x - 3 y + 14 z = -43 ist das die Ebene P1P2P3


deinen letzten Post hab ich nicht verstanden, ich denke ich muss die ebene mit der Geraden schneiden...Schnittpunkt = Fußpunkt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der letzte post hat sich auf den von mexx bezogen von wegen HNF.
der ist jetzt egal.

bitte kontrolliere deine ebene, die ist falsch.
E: -25x + 4y + 10z = -43

setze halt alle punkte ein
werner
Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »

so, nochmal...Urschleim wie es ja gern genant wird:

N x X = N x (P1) ( weil beliebiger Punkt auf Ebene)

N= Kreuzprodukt aus P2 P3

N= -35/-3/14

(-35/-3/14) x (x/y/z) = (-35/-3/14) x (1/-2/-1)

-35x - 3y + 14z = -35 + 6 -14

-35x - 3y + 14z = -43


so...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

bitte was heißt N = kreuzprodukt aus P1P2 verwirrt

könntest du einmal - wenn du noch an hilfe interessiert bist - ALLE schritte hinmalen, und wenn möglich den formeleditor benutzen!
schön langsam verwirrst du mich total und restlos Big Laugh
werner
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