cauchy folgen in metrik

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christoph aka ratlos Auf diesen Beitrag antworten »
cauchy folgen in metrik
hallo, habe folgendes problem:

Zu zeigen: folgende aussagen sind äquivalent:

(i) (x(i)) ist eine cauchy folge in jeder komponente
(ii) (x(i)) ist eine CF bezügl der Metrik d(unendlich)
(iii) (x(i)) ist eine CF bezügl der Metrik d(2)
(iv) (x(i)) ist eine Cf bezügl der metrik d(1)

so, jetzt mein Problem, die definition einer Cauchy Folge besgat ja das ein Wert x(i) gegen einen anderen Wert konvergiert und somit die folge endlich ist also einen Grenzwert besitzt und das ein wert
¬> d(x,y) existiert für ¬>0 . als beispiele für cauchy folgen finde ich allerdings nur sachen wie ¬ >1/N etc, also beispiele die meiner meineung nach nichts mit einer Metrik zu tun haben. meine idee zu aufgabe:

(i) ist dann erfüllt wenn es einen Grenzwert gibt, was ja die vorraussetzung ist
(ii) ist auch erfüllt, da der wert Xmax gegen Ymax konvergiertt
(iii) da hörts dann auf. die Norm ist sqrt(x²+y²). konvergiert dann also x² gegen y² ?
(iv) wenn (iii) stimmt dann gehts hier genauso, dass |x| gegen |y| konvergiert

wäre cool wenn jemand mir helfen koennte!

lg, christoph
christoph aka ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

was als ¬ dargestellt wird sollte das grieschiche "e" werden!
LeereMenge Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, bei der aufgabe kann ich dir leider nicht wirklich helfen, aber ich glaube deine definition von cauchy folge ist nicht ganz korrekt. eine cauchy folge ist eine folge bei der der abstand zwischen den einzelnen aufeinanderfolgenden elementen ab einem bestimmten element kleiner als € ist. ein grenzwert L, zu dem der abstand kleiner € ist muss nicht existieren. bringt dich wahrscheinlich trotzdem nicht weiter.
christoph aka... Auf diesen Beitrag antworten »

also es geht mir eigentlich mehr um denumgang mit den normen d(unendlich) etc. versteh den zusammenhang bzw die umsetzung nichtso gnaz
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Schau' dir bitte erstmal die Definition einer Cauchyfolge bezüglich einer beliebigen Metrik an, denn das, was du da schreibst, ist absolut wirr, wenn nicht sogar falsch (ich nehme mal stillschweigend an, dass es um Folgen des geht, da ich nur dort all die in der Aufgabe angesprochenen Metriken kenne, richtig?).
Lies' dir anschließend die Definitionen der hier auftretenden Metriken durch und versuche dann, dir für jede einzelne klar zu machen, was es für eine Folge bedeutet, eine Cauchyfolge bezüglich dieser Metrik zu sein.
Du sollst außerdem nicht zeigen, dass die einzelnen Punkte erfüllt sind, das kannst du für eine allgemeine Folge gar nicht, sondern du sollst zeigen, dass sie äquivalent sind, zeige also zum Beispiel nacheinander
(i)=>(ii), (ii)=>(iii), (iii)=>(iv), (iv)=>(i)
Du musst also zum Beispiel, indem du voraussetzt, dass eine Folge eine komponentenweise Cauchyfolge ist, beweisen, dass sie dann auch eine Cauchyfolge bezüglich ist, was natürlich nicht geht, wenn dir gar nicht klar ist, was diese Aussagen überhaupt bedeuten.
Mache dich also bitte erst mit dem Thema vertraut, im Moment kann man dir nicht helfen.
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