vollständige induktion produkt aus summen ungleichung

30.10.2004, 14:30

josef

vollständige induktion produkt aus summen ungleichung

hallo forum,

folgendes gilt es zu beweisen: (x1+...+xn)*(1/x1+...+1/xn) >= n^2

habe nun das problem, dass ich keine gute umformung finde, so dass ich den xn teil getrennt vom xn+1 teil habe.

bitte gebt mir einen tipp!

danke,

josef

30.10.2004, 16:20

Untier

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schrieb dir die summen doch erstmal mit summenzeichen hin , dann wirds shcon etwas übersichtlicher

31.10.2004, 11:20

klarsoweit

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RE: vollständige induktion produkt aus summen ungleichung
1) Induktionsanker für n = 1 ist klar
2) Induktionsschritt von n auf n+1:
Ziehe aus den Summen den letzten Summanden $\begin{eqnarray*} x_{n+1} bzw. 1/x_{n+1} \end{eqnarray*}$ heraus:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^{n+1}~x_k ) * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~x_k ) * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) + x_{n+1} * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) \end{eqnarray*}$
= ... (bitte selbst rechnen)

Gegenüber der Behauptung erhältst du nun n zusätzliche Summanden der Form
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} / x_k \end{eqnarray*}$ , sowie weitere n Summanden der Form $\begin{eqnarray*} x_k / x_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} x_{n+1} / x_k + x_k / x_{n+1} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist.

01.11.2004, 20:06

riwe

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RE: vollständige induktion produkt aus summen ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
1) Induktionsanker für n = 1 ist klar
2) Induktionsschritt von n auf n+1:
Ziehe aus den Summen den letzten Summanden $\begin{eqnarray*} x_{n+1} bzw. 1/x_{n+1} \end{eqnarray*}$ heraus:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^{n+1}~x_k ) * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~x_k ) * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) + x_{n+1} * (\sum_{k=1}^{n+1}~1/x_k ) \end{eqnarray*}$
= ... (bitte selbst rechnen)

Gegenüber der Behauptung erhältst du nun n zusätzliche Summanden der Form
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} / x_k \end{eqnarray*}$ , sowie weitere n Summanden der Form $\begin{eqnarray*} x_k / x_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} x_{n+1} / x_k + x_k / x_{n+1} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist.

folgt aus:
x + 1/x >= 2 für beliebiges x, daher auch für x = xn+1/xk

unmittelbar ersichtlich aus
(x - 1)^2 >= 0
und umformen (divisoion durch x>0) ergibt die behauptung
werner

01.11.2004, 21:03

josef

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RE: vollständige induktion produkt aus summen ungleichung

Zitat:

Original von wernerrin

Zitat: