Von der Ableitung zur Funktion?

20.03.2007, 19:58

Wissen_ist_macht

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Von der Ableitung zur Funktion?

hallo,
da ich in letzter zeit nicht mehr ganz mitkomme und ich jedentag versuche, etwas davon zu verstehen, was meine lehrerin versucht uns beizubringen.
Heute hat sie uns eine hausaufgabe aufgegeben, bei der mir leider der ansatz fehlt. Es sind nur 2 punkte gegebnen und die 2. Ableitung der Funkion.

1.Punkt: (2|3)
2.Punkt (-2|3)

F''(x)=12x^2-4

Wie gesagt, handelt sich die Funktion um eine 4.Grades, jedoch wollte uns die lehrerin nicht verraten, welche bedeutung die punkte haben.

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen oder mir zumindest einen ansatz bieten, damit ich für die zukunft weiss, was ich dann bei solchen aufgaben zu tun habe.

mfg

20.03.2007, 20:02

pseudo-nym

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Um die Ausgangsfunktion zu bestimmen musst du $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ zweimal integrieren. Dabei werden zwei Integrationskonstanten auftauchen.
Wenn du die beiden gegebenen Punkte in die Funktion einsetzt erhälst du ein Gleichungssystem und kann die Konstaten eliminieren.

20.03.2007, 20:02

tigerbine

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RE: Von der Ableitung zur Funktion?
Polynom 4ten GRades

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Wie lauten die allgemeinen Ableitungen 1 und 2?

...

Gegebene Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12x^2-4 \end{eqnarray*}$

Welche Koeffizientengkennen wir jetzt laos schon?

....

Gegebene Punkte:

$\begin{eqnarray*} f(2) = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-2) = 3 \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry Pseudo, hatte deine Antwort noch nicht gesehen Wink

Wink

20.03.2007, 20:41

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Um die Ausgangsfunktion zu bestimmen musst du $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ zweimal integrieren. Dabei werden zwei Integrationskonstanten auftauchen.
Wenn du die beiden gegebenen Punkte in die Funktion einsetzt erhälst du ein Gleichungssystem und kann die Konstaten eliminieren.

danke für die antworten von euch beiden, blos stehen wir noch vor dem großen thema "Integralrechnung", vondaher kann ich euch nicht ganz folgen.Es wäre nett, wenn ihr das bitte genauer erläutern könntet.Ich habe zumindest nun von der ausgehenden gleichung 4.Grades die beiden Ableitungen gebildet und habe damit doch schon a = 1 und b = 2/3 , aber wie komme ich nun an die anderen variablen und wozu brauche ich nochmal diese gegebenen punkte?

20.03.2007, 20:48

tigerbine

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Teile uns deine Ableitungen bitte mit. Also die vom allgemeinen Polynom 4ten GRades

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Damit wir sehen können was Du machst. Danke

20.03.2007, 20:53

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
Teile uns deine Ableitungen bitte mit. Also die vom allgemeinen Polynom 4ten GRades

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Damit wir sehen können was Du machst. Danke

Die erste ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$

die zweite:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

daraus müssen die variablen a und b jeweils 1 und 2/3 ergeben oder?

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20.03.2007, 20:59

tigerbine

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Mit dem Wissen:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12x^2-4 =12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

folgt dann also:

$\begin{eqnarray*} a = ?,~b=?,~c=? \end{eqnarray*}$

20.03.2007, 21:04

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
Mit dem Wissen:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12x^2-4 =12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

folgt dann also:

$\begin{eqnarray*} a = ?,~b=?,~c=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1,b=\frac{2}{3} ,c=0 \end{eqnarray*}$

oder?

20.03.2007, 21:07

tigerbine

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Wel, nicht ganz richtig. b und c gefallen mir nicht. Vor kommt in der bekannten Ableitung ein x vor? verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

20.03.2007, 21:10

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
Wel, nicht ganz richtig. b und c gefallen mir nicht. Vor kommt in der bekannten Ableitung ein x vor? verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

heisst das dann, das b gar nicht existiert? habs eben auch entdeckt und normalerweise, is das dann nur eine konstante.D.h. doch dann, dass man für b keine zahl hat.

20.03.2007, 21:18

tigerbine

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b existiert schon. Aber warum sieht man es nicht? Welche Zahl ist da sehr verdächtg, **7? Big Laugh

Big Laugh

20.03.2007, 21:25

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
b existiert schon. Aber warum sieht man es nicht? Welche Zahl ist da sehr verdächtg, **7? Big Laugh

Big Laugh

jetzt bemerke ich meine eigene dummheit xD sorry^^

b ist natürlich 0 und c ist 2 ^^

20.03.2007, 21:27

tigerbine

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Wie der Jauch sagen würde: Sicher?

Ich finde da noch ein Vorzeichenproblem.

20.03.2007, 21:28

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von Wissen_ist_macht

Zitat:

Original von tigerbine
b existiert schon. Aber warum sieht man es nicht? Welche Zahl ist da sehr verdächtg, **7? Big Laugh

Big Laugh

jetzt bemerke ich meine eigene dummheit xD sorry^^

b ist natürlich 0 und c ist 2 ^^

c= -2

Big Laugh

zu schnell zu denken ist manchmal von nachteil Big Laugh

Big Laugh

20.03.2007, 21:36

tigerbine

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Also ich fasse mal zuammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Ableitung haben wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} a=1,~b=0,~c=-2 \end{eqnarray*}$

Das liefert:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2x^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Bleiben noch 2 Unbekannte. Dafür haben wir ja noch die beiden Punkte.

$\begin{eqnarray*} f(2) =(2)^4-2\cdot (2)^2+d\cdot (2)+e =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-2) =(-2)^4-2\cdot (2)^2+d\cdot (-2)+e =3 \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann auch noch recht einfach. Mach aber lieber langsam. Nicht das wieder ein VZ Fehler drinne ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.03.2007, 21:56

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
Also ich fasse mal zuammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Ableitung haben wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} a=1,~b=0,~c=-2 \end{eqnarray*}$

Das liefert:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2x^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Bleiben noch 2 Unbekannte. Dafür haben wir ja noch die beiden Punkte.

$\begin{eqnarray*} f(2) =(2)^4-2\cdot (2)^2+d\cdot (2)+e =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-2) =(-2)^4-2\cdot (2)^2+d\cdot (-2)+e =3 \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist dann auch noch recht einfach. Mach aber lieber langsam. Nicht das wieder ein VZ Fehler drinne ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

so..es könnte sein, dass ich mich verrechnet habe, da es auch schon so spät ist Big Laugh

Big Laugh

aber das sind meine ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} d=- \frac{3}{4} , e= -\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

20.03.2007, 22:07

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} 16-8+2d+e =3 \Leftrightarrow ~2d + e = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16-8-2d+e =3 \Leftrightarrow -2d + e = -5 \end{eqnarray*}$

Da hätte ich ja jetzt gesagt:

$\begin{eqnarray*} d = 0,~e = -5 \end{eqnarray*}$

Damit:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2x^2-5 \end{eqnarray*}$

20.03.2007, 22:11

Wissen_ist_macht

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} 16-8+2d+e =3 \Leftrightarrow ~2d + e = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16-8-2d+e =3 \Leftrightarrow -2d + e = -5 \end{eqnarray*}$

Da hätte ich ja jetzt gesagt:

$\begin{eqnarray*} d = 0,~e = -5 \end{eqnarray*}$

Damit:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2x^2-5 \end{eqnarray*}$

hab meinen fehler eben gesehn...naja nachsicht ist besser als keine sicht^^

trotzdem vielen dank biene, jetzt ist mir vieles klarer

wünsch dir noch ne schöne nacht Wink

Wink

20.03.2007, 22:28

tigerbine

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Möge die Macht mit Dir sein

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