lineare abhängigkeit von a+b und a-b

20.03.2007, 20:27

chrizke

lineare abhängigkeit von a+b und a-b

Hi, ich habe folgenge Aufgabe: Die Vektoren a und b sind beie l.a.
Zeigen sie, dass auch $\begin{eqnarray*} \vec{a}+ \vec{b} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{a}- \vec{b} \end{eqnarray*}$ voneinander l.a. sind.

Mein Ansatz war folgender:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}+ \vec{b} =s(\vec{a}- \vec{b}) \end{eqnarray*}$

Wir wissen ja, dass man auf la mit folgendem prüfen kann (direkt schon umgeformt: $\begin{eqnarray*} \vec{a}+ \vec{b} +s\vec{a}- s\vec{b}=0 \end{eqnarray*}$

Doch hier komme ich nicht weiter. Ist der Ansatz richtig???

20.03.2007, 20:31

Lazarus

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a und b sind Lin.Ab.
d.h. a=s*b

20.03.2007, 20:35

chrizke

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Ja das ist mir schon klar, doch ich soll beweisen, dass a+b linear abhängig zu a-b ist, so versteh ich zumindest die Aufgabe...

20.03.2007, 20:36

Lazarus

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naja setz das halt ein und such ein nichttriviales s, das reicht

20.03.2007, 20:40

chrizke

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Kann ich das in die Gleichung a+b=s(a-b) einsetzen?

20.03.2007, 20:41

mYthos

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Siehe auch dort:

Linear unabhängige Vektoren

mY+

20.03.2007, 20:42

Lazarus

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Ja!
Wieso sträubst du dich denn so?
Wir machen doch Mathematik, da kann doch bei einem "fehlgeschlagenen Experiment" nicht so viel passieren wie in Chemie oder Physik!
Also einfach rein damit !

20.03.2007, 20:45

chrizke

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@mythos, ich habe zwei l.a. verktoren a und b und nicht l.u.

20.03.2007, 20:46

Lazarus

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Aber das ist doch völlig egal!
Der Ansatz ist doch der gleiche, lediglich das Ergebniss ist eben genau das gegenteil!

20.03.2007, 21:05

chrizke

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also ich bin von der gleichung a+b=s(a-b) ausgegangen und habe das umgeformt und dann für a rb eingesetzt, wegen der l.a. zwischen a und b.

da kommt dann das hier raus, wenn ich nach s umforme:
$\begin{eqnarray*} s=\frac{r+1}{r-1} \end{eqnarray*}$

Was fang ich denn nun mit dieser Info an???????

Sorry, dass ich nicht wirklich dahintersteig, da ich noch Deutsch machen muss, was nicht grad wenig ist unglücklich

Edit: Wobei mir grade auffällt, dass das quatsch ist, da ich einfach durch nen Vektor geteilt habe, was man so ja nicht machen kann...

21.03.2007, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von chrizke
da kommt dann das hier raus, wenn ich nach s umforme:
$\begin{eqnarray*} s=\frac{r+1}{r-1} \end{eqnarray*}$

Ist soweit in Ordnung. Wobei du vermutlich folgendes da stehen hattest:

$\begin{eqnarray*} (1+r+s-rs) \cdot \vec{a} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Da mußt du erstmal 2 Fälle unterscheiden:

1. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektor. Dann folgt die Behauptung sofort.

2. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist nicht der Nullvektor. Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} 1+r+s-rs = 0 \end{eqnarray*}$
(Auf diese Weise vermeidest du die nicht erlaubte Division durch einen Vektor.)
Auch hier müssen wieder 2 Fälle unterschieden werden:

2a. r=1: Dann ist $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{b} \end{eqnarray*}$ und die Behauptung folgt sofort.

2b. r <>1: $\begin{eqnarray*} 1+r+s-rs = 0 \end{eqnarray*}$ nach s aufgelöst ergibt deine Lösung $\begin{eqnarray*} s=\frac{r+1}{r-1} \end{eqnarray*}$ . Das heißt, es gibt eine Zahl s, die deinen Ansatz erfüllt, und damit ist gezeigt, daß lineare Abhängigkeit vorliegt.

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