Mengen, Abbildungen, Kongruenzrelation...

30.10.2004, 15:09

anjaundlukas

Mengen, Abbildungen, Kongruenzrelation...

Hallo,

bei unserer aktuellen Übungsaufgabe komme ich nicht mehr richtig voran. Einiges habe ich schon, aber noch nicht alles. Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

1.) Beweisen Sie die folgenden Rechenregel für die Verknüpfungen von Aussagen bzw. Mengen:
a.) (p^ (p $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q)) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q
b.) (p $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q) genau dann, wenn (nicht q $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht p)
c.) A \ ( A \ B ) = A Schnittmenge B
d.) A \ ( B vereinigt C ) = ( A \ B ) \ C

Bei dieser Aufgabe bin ich mir bei d. nicht sicher.
Meine Lösung zu d:
( A \ B ) \ C
= ( A \ ( A Schnittmenge B )) vereinigt ( A \ ( A Schnittmenge C )
= A \ (( A Schnittmenge B ) vereinigt ( A Schnittmenge C ))
= A \ ( A Schnittmenge ( B vereinigt C ))
= A \ ( B vereinigt C ) q.e.d.
kann man das so machen ?

2. Beweisen Sie: Ist die Abbildung f ° g injektiv bzw. surjektiv, so ist auch f injektiv bzw. g surjektiv.

So richtig weiß ich zwar nicht, was ich da machen soll, aber ich hab mir gedacht, das ich das irgendwie mit Funktionen bzw. Gleichungen machen kann ?!?
Bin davon ausgegangen, dass f ° g (laut Vorlesung) bedeutet g (f (x)).
( f(x) = $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ ; g(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )
Wenn ich jetzt habe
f ° g = g (f(x)) = ( $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ )hoch 1/2 und
g ° f = f (g(x)) =( $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )hoch 3 ist beides injektiv. Ist damit schon bewiesen, dass f injektiv ist, wenn f ° g injektiv ist ???

Bei der 2. Möglichkeit ( f ° g surjektiv, so auch g surjektiv ) bin ich noch nicht weitergekommen.

3. Für m > 1 ist in Z die Kongruenzrelation modulo m, bezeichnet mit ... $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ... (mod m), definiert durch: a $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ b (mod m) genau dann, wenn m Teiler a - b Für alle a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z
Beweisen Sie, dass sie eine Äquivalenzrelation ist.

Damit kann ich überhaupt nichts anfangen traurig

4. Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k= n(n+1) / 2 \end{eqnarray*}$ Für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N.

Ja, das ist ja wieder einfach !!!

Wäre wirklich super, wenn mir jemand weiterhelfen kann. Vor allem bei 2. und 3.

Gott

31.10.2004, 02:20

carsten

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zu 3.)

Definition einer Aequivalenzrelation: Wenn eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, dann heisst sie Aequivalenzrelation.

Reflexiv heisst, dass ein Element zu sich selbst in Relation stehen muss.
Symmetrisch heisst, wenn a zu b in Relation stehen, dann muss auch b zu a in Relation stehen.
Und transitiv bedeutet wenn a zu b und b zu c in Relation stehen, dann stehen auch a und c in Relation.

Wenn man jetzt eine Relation auf einer Menge gegeben hat, kann man nachpruefen, ob die 3 Bedingungen erfuellt sind.

In Deinem Fall heisst "in Relation stehen" a ist kongruent zu b Modulo m, bzw. m teilt (a-b).

Also musst Du folgendes zeigen:

reflexiv:
$\begin{eqnarray*} a \equiv a \ mod(m) \ \forall a \in Z \mbox{ und } \forall m>1 \end{eqnarray*}$

symmetrisch:
$\begin{eqnarray*} \mbox{aus } a \equiv b \mbox{ folgt } b \equiv a \ mod(m) \ \forall m>1 \end{eqnarray*}$

transitiv:
$\begin{eqnarray*} \mbox{aus: } a \equiv b \ mod(m) \mbox{ und } b \equiv c \ mod(m) \mbox{ folgt } a \equiv c \ mod(m) \ \forall m>1 \end{eqnarray*}$

Gruesse
Carsten

31.10.2004, 09:08

Mathespezialschüler

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RE: Mengen, Abbildungen, Kongruenzrelation...

Zitat:

Original von anjaundlukas
2. Beweisen Sie: Ist die Abbildung f ° g injektiv bzw. surjektiv, so ist auch f injektiv bzw. g surjektiv.

So richtig weiß ich zwar nicht, was ich da machen soll, aber ich hab mir gedacht, das ich das irgendwie mit Funktionen bzw. Gleichungen machen kann ?!?
Bin davon ausgegangen, dass f ° g (laut Vorlesung) bedeutet g (f (x)).
( f(x) = $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ ; g(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )
Wenn ich jetzt habe
f ° g = g (f(x)) = ( $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ )hoch 1/2 und
g ° f = f (g(x)) =( $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ )hoch 3 ist beides injektiv. Ist damit schon bewiesen, dass f injektiv ist, wenn f ° g injektiv ist ???

Bei der 2. Möglichkeit ( f ° g surjektiv, so auch g surjektiv ) bin ich noch nicht weitergekommen.

Das ist natürlich noch kein Beweis!!!! Weißt du denn, was ein Beweis ist bzw., wie man ihn führt? Ein Beispiel reicht da nicht aus! Du musst einen Beweis ganz allgemein machen und das für alle Funktionen zeigen! Dabei reicht so ein Beispiel natürlich absolut nicht!
Also wenn du etwas beweisen willst, dann musst du das allgemein machen. Wenn du eine Aussage widerlegen sollst, dann reicht da ein Beispiel, für das die Aussage nicht gilt.
Also zu deiner Aufgabe:

Eigentlich bedeutet f°g soviel wie f(g(x)) und nicht g(f(x))! Hast du vielleicht was falsch abgeschrieben ...??

Zum Beweis: Weißt du, was injektiv bedeutet? Versuche erstmal, zu beweisen, dass g injektiv ist und leite dann daraus her, dass g injektiv ist.

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