integral

20.03.2007, 23:16	mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
integral hallo hätt auch ne frage zu integral: weiß überhaupt nicht wie ich das machen soll: $\begin{eqnarray} \int~\frac{sinx+cosx}{sinx+1}~dx \end{eqnarray}$ kann mir bitte bitte helfen!!! dankeschön!!
20.03.2007, 23:22	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Standartsubstitution: $\begin{eqnarray} u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray}$
20.03.2007, 23:28	mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber wie komme ich bitte zum $\begin{eqnarray} tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ aus dem oberen integral!! kannst du mir das bitte genau erklären??
20.03.2007, 23:30	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie "wie komm ich dazu" ? Meinst du wie ich weiss das ich diese Substitution anwenden kann ? Wie geschrieben ist das eine Art "Standardsubstitution" die öfters erfolgreich ist bei ähnlichen Problemstellungen. Das erfährt man allerdings nur durch erfahrung.
20.03.2007, 23:35	mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich meinte weil ja der tan so definiert ist $\begin{eqnarray} tanx=\frac{sinx}{cosx} \end{eqnarray}$ wie kann ich dann das integral umformen damit ich so substituieren kann ich verstehe die vorgangsweise nicht!!
20.03.2007, 23:55	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. $\begin{eqnarray} u&=&\tan\left(\frac{x}{2}\right) \\ 2\cdot \arctan(u)&=&x \end{eqnarray}$
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21.03.2007, 00:18	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Arthur hat mal eine gute Erklärung zu dieser Substitution geschrieben: integral 1/sinx dx
21.03.2007, 01:01	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Evtl. sollten wir auch ne Herleitung mal hier irgendwie hinschreiben. Hab mal weng gesucht aber nix gefunden. Also ich denke es ist bekannt das $\begin{eqnarray} \sin^2\left(z\right)=\frac{1-\cos(2z)}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cos^2\left(z\right)=\frac{1+\cos(2z)}{2} \end{eqnarray}$ und natürlich die Definition des Tangens $\begin{eqnarray} \tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)} \end{eqnarray}$ Zieht man nun die Wurzel und ersetzt $\begin{eqnarray} z = \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ erhält man daraus die sogenannten Halbwinkelformeln: $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{x}{2}\right)&=&\pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}\\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)&=&\pm \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} \end{eqnarray}$ Setzt man das nun in die Definition des Tangens ein, erhält man die Identität $\begin{eqnarray} \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} \end{eqnarray}$ Hier kann man nun mit $\begin{eqnarray} 1+\cos(x) \end{eqnarray}$ erweitern und den Trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray}$ anwenden: $\begin{eqnarray} \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}=\pm \sqrt{\frac{\left(1-\cos(x)\right)\cdot \left(1+\cos(x)\right)}{\left(1+\cos(x)\right)\cdot \left(1+\cos(x)\right)}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos^2(x)}{\left(1+\cos(x)\right)^2}}=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \end{eqnarray}$ Natürlich kann man auch mit $\begin{eqnarray} 1-\cos(x) \end{eqnarray}$ erweitern. Man würde dann $\begin{eqnarray} \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} \end{eqnarray}$ Vergleichbares gibt es natürlich auch für die hyperbolischen Funktionen

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