Problem mit Integral

30.10.2004, 16:43

wiebke

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Problem mit Integral

Hallo!
wir haben vor den Ferien mit der Integralrechnung angefangen und jetzt solln wir in den Ferien 25 seiten durchgehn und uns das alles aneignen. Dabei bin ich auf ein Problem gestoßen, und zwar bei der Aufgabe int_{0}^{-2}~-x^3~dx Kann da der Flächeninhalt 4 sein? weil wenn ich das zeichne passt das irgendwie nich... müsste das Ergebnis nicht negativ sein?

\\EDIT by sommer87: Plotter verbessert Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2004, 16:50

iammrvip

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du meinst (ich nenn's mal I)

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{-2} -x^3dx \end{eqnarray*}$

der flächeninhalt stimmt. 4 ist richtig. immer wenn du auf eine negative zahl kommst, musst du den betrag nehmen, da der flächeninhalt ja nicht negativ sein kann. also

$\begin{eqnarray*} I = \left|\int_0^{-2} -x^3dx\right| \end{eqnarray*}$

30.10.2004, 16:55

wiebke

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Ja genau, irgendwie klappt das bei mir nich das mit den Formeln. Also die Aufgabe lautet Bestimme aufgrund der geometrischen Definiton. und dann halt das Integral. Stammfunktion oder so gibt es nicht, kann das sein? wir haben wie gesagt, grad erst damit angefangen...

30.10.2004, 17:01

iammrvip

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die stammfunktion ist ganz einfach zu bestimmen. du kennst doch die "potenzregel" aus der differenzialrechnung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

diese regel kehren wir jetzt einfach um:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{n} \Rightarrow f(x) = \int f'(x)dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \end{eqnarray*}$

wenn du diese regel jetzt auf die funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = -x^3 \end{eqnarray*}$ anwendest auf was kommst du da??

hinweis:

das minus kann man noch vorher "beseitigen":

$\begin{eqnarray*} \int -x^3 dx = \int -1 \cdot x^3 dx = -\int x^3 dx \end{eqnarray*}$

da -1 ein konstanter faktor ist, kann man ihn auch aus dem integral nehmen.

30.10.2004, 17:21

wiebke

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Also dem nach würd ich dann auf \frac{x^4}{2} kommen. was dann meine Stammfunktion wäre?

30.10.2004, 17:22

wiebke

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Also dem nach würd ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{2} \end{eqnarray*}$ kommen. was dann meine Stammfunktion wäre?

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30.10.2004, 17:23

iammrvip

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fast. du rechnest:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\int \frac{x^3}{3}dx = -\frac{1}{3+1}x^{3+1}= -\frac{1}{4}x^4 = -\frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$

denn, wenn du das wieder ableitest:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{x^4}{4} \Rightarrow f'(x) = -\frac{4x^3}{4} = -x^3 \end{eqnarray*}$

(integrationskonstante wurde bei der rechnung vernachlässigt)

30.10.2004, 17:26

Wiebke

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Aha stimmt ja, danke hatte im Nenner anstatt plus minus gerechnet. Und wofür benötige ich die Stammfunktion?

30.10.2004, 17:30

iammrvip

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die fläche einer funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ berechnet man über das integral. dabei bildet man die stammfunktion, nimmt den wert derer der oberen grenze und subtrahiert den stammfunktionswert der unteren grenze. besser ausgedrückt:

f(x) ist eine beliebige funktion. dann ist F(x) ihre stammfunktion. der flächeninhalt A im intervall [a|b] berechnet sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} A = \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

30.10.2004, 17:31

wiebke

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also ich hab das nämlich so ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{-2} -x^3dx = - \frac{0^4}{4} - \frac{(-2)^4}{2} \end{eqnarray*}$

also brauch ich zum ausrechnen keine Stammfunktion?

30.10.2004, 17:32

iammrvip

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und wie bist du darauf gekommen??

30.10.2004, 17:32

wiebke

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ah ich habs glaub ich kapiert. quasi hab ich zum ausrechnen meiner aufgaben immer automatisch die stammfunktionen gebildet. wusste nur nich dass die so heißt hm?

30.10.2004, 17:37

iammrvip

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also was müsstest du jetzt hier rechnen?? du brauchst schon die stammfunktion.

du hast doch sicher

$\begin{eqnarray*} A = -\frac{0}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \end{eqnarray*}$

gerechnet oder?? dann hast du ja fast das gemacht, was ich dir hier hungeschrieben habe smile

smile

.

30.10.2004, 17:41

wiebke

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Ja doch dann das hier oder? Wir haben die Formeln dafür als Grundintegrale kennengelernt, ohne weitere erklärung. aber jetzt weiß ich ja, dass das meine Stammfunktion ist.

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{-2} -x^3dx = - \frac{0^4}{4} - \frac{(-2)^4}{2} \end{eqnarray*}$

30.10.2004, 17:43

iammrvip

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lies noch mal meinen vorherigen beitrag. es ist zufall, dass das hier gerade geklappt hat.

du müsstest eigentlich folgenden rechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_0^{-2} -x^3dx = -\int_0^{-2} x^3dx = -\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^{-2} = -\left(\frac{(-2)^4}{4} - 0\right) = -4 \end{eqnarray*}$

und jetzt noch den betrag und du hast 4 (FE).

30.10.2004, 17:50

wiebke

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ja, hab ich doch jetzt richitg gemacht oder? soll ich nochwas machen?

Meine Stammfunktion für die Aufgabe lautet doch

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\int \frac{x^3}{3}dx = -\frac{1}{3+1}x^{3+1}= -\frac{1}{4}x^4 = -\frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$

30.10.2004, 17:54

wiebke

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hm, ja auf jedenfall danke! wir rechnen dass nur anscheinend anders. vielleicht lernen wir das erst später kennen? werd dann mal weitermachen. Danke

30.10.2004, 17:56

iammrvip

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die ausgangsfunktion ist

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^3 \end{eqnarray*}$

d.h. n = 3

jetzt nimmst du die allgemeine formel

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{n} \Rightarrow f(x) = \int f'(x)dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \end{eqnarray*}$

und setzt das n ein:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int -x^3dx = \int -1 \cdot x^3dx = -\int x^3dx = -\frac{1}{3+1} x^{3+1} = -\frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$

(integrationskonstante wieder vernachlässigt)

30.10.2004, 20:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} f(x) = -\int \frac{x^3}{3}dx = -\frac{1}{3+1}x^{3+1}= -\frac{1}{4}x^4 = -\frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$

Das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$ ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$ !!!!

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