differenzialgleichung

30.10.2004, 16:47	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
differenzialgleichung hallo. gesucht ist die allgemein lösung der diff.gleichung $\begin{eqnarray} y' = \frac{1}{x+y} \end{eqnarray}$ kann mir jemand bitte den lösung weg erklären. wäre nett. es sollte $\begin{eqnarray} \frac{x}{e^y} + \frac{y}{e^y} + \frac{1}{e^y} = C \Rightarrow e^{-y}\left(x + y + 1\right) = C \end{eqnarray}$ rauskommen. nur leider weiß ich nich, wie man auf das ergebnis kommt. trennung der veränderlichen geht ja nicht und substitution mit $\begin{eqnarray} u = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ hab ich auch schon versucht. zudem weiß ich nicht, wie man die implizit form in ein koordinatensystem (2d) einzeichnet. kann mir das bitte auch jemand sagen. bin für jede hilfe dankbar.
30.10.2004, 17:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere x+y=u, y'=u'-1. Du erhältst eine Differentialgleichung, die man durch Trennen der Veränderlichen lösen kann. Die Zeichnung des Graphen ist in diesem Fall auch nicht schwer. Löse einfach die Gleichung nach x auf und zeichne den Graphen von x=x(y). Die Figur zeigt ein paar Lösungskurven: C=1 (blau), C=2 (rot), C=5 (grün); C=-1 (türkis); C=-2 (orange); C=-4 (grün);
30.10.2004, 17:59	folgensucher	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh. danke. die substitutionsmethode kanst ich noch nicht. .
30.10.2004, 18:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es auch einfach probiert: Das x+y im Nenner hat mich gestört, also habe ich dem Bösewicht den Namen u gegeben. Und es hat funktioniert. Manchmal ist halt doch das Naheliegende das Richtige.

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