Beweis: Additionstheorem der Fakultät

30.10.2004, 19:36

oldwise

Beweis: Additionstheorem der Fakultät

Hallo. Seit Tagen hänge ich an dem Beweis fest:

Ich soll zeigen, dass

http://www.x-tension-band.de/g1.gif ist.

So, mir ist klar, dass ich das über vollst. Induktion mache. Bloß wo sollte ich ansetzen? Links oder Rechts?

Bei Induktion mit (m+1) und (n+1) komme ich ja auf folgende Ausgangsgleichung:

http://www.x-tension-band.de/g2.gif ist.

Jetzt kann ich ja ersetzen:

http://www.x-tension-band.de/g3.gif ist.

Aber nach umformen und substituieren komme ich auf keine vernünftige Aussage. Liegt mein Fehler schon im Ansatz?

Bitte um Hilfe.

Gruß

30.10.2004, 19:54

Leopold

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Nein, keine vollständige Induktion. Das geht viel einfacher!
Schreibe einfach beide Terme gemäß der Definition der Binomialkoeffizienten hin:

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

dann Hauptnenner, addieren, schon steht es da.

30.10.2004, 20:18

oldwise

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Hatte ich auch schon probiert.

ok, dann komme ich auf diesen Ausdruck:

http://www.x-tension-band.de/g4.gif

ich forme dann folgendermaßen um:

http://www.x-tension-band.de/g5.gif

Du sagst, ich soll um den Hauptnenner erweitern, ok:

http://www.x-tension-band.de/g6.gif

So, hatte ich schon, aber ich sehe auch darin keinen Sinn.

30.10.2004, 21:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oldwise
Du sagst, ich soll um den Hauptnenner erweitern, ok:

http://www.x-tension-band.de/g6.gif

So, hatte ich schon, aber ich sehe auch darin keinen Sinn.

Du musst aber den rechten Ausdruck mit (m+1) erweitern und nicht den linken! Augenzwinkern

30.10.2004, 21:53

oldwise

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weiß jetzt nicht wo du meinst ...

30.10.2004, 22:31

Mathespezialschüler

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Verschoben

Ich meinte nich (m+1), sondern (n-m-1)! Sorry!

Zitat:

Original von oldwise
ich forme dann folgendermaßen um:

http://www.x-tension-band.de/g5.gif

Dein Fehler liegt hier von der ersten zur zweiten Zeile! Du hast folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} (n-m-1)!=(n-m)!\cdot (n-m-1) \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht! Die allgemeine Formel ist

$\begin{eqnarray*} k!=(k-1)!\cdot k \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} k=n-m-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (n-m-1)!=(n-m-2)!\cdot (n-m-1) \end{eqnarray*}$

Das hilft dir nicht weiter! Du musst den rechten Bruch mit n-m erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}=\frac{n!\cdot(m+1)}{m!\cdot (m+1)\cdot (n-m)!}+\frac{n!\cdot (n-m)}{(m+1)!(n-m-1)!\cdot (n-m)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt verwende im Nenner des zweiten Bruchs

$\begin{eqnarray*} (n-m)!=(n-m-1)!\cdot (n-m) \end{eqnarray*}$

!! Für den Nenner des ersten Bruchs brauchst du die Formel für (m+1)!

31.10.2004, 09:52

oldwise

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ok, super, jetzt habe ich es fast:

durch erweitern und umformen komme ich darauf:

http://www.x-tension-band.de/g7.gif

nun könnte ich jetzt noch folgendes machen:

http://www.x-tension-band.de/g8.gif

Ich gebe zu, jetzt sieht's garnicht mal so schlecht aus, aber wohin jetzt noch mit dem "Anhängsel"?!

Danke erstmal für eure Hilfe!

31.10.2004, 09:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oldwise
ok, super, jetzt habe ich es fast:

durch erweitern und umformen komme ich darauf:

http://www.x-tension-band.de/g7.gif

Wie kommst du denn auf diese Umformung? Das is völlig quatsch! Du darfst doch nicht einfach das unter die Fakultät packen!
Du musst vielmehr n! ausklammern!

31.10.2004, 10:03

Leopold

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Die Zähler in der ersten Gleichung stimmt nicht. Du scheinst so ein Gesetz wie a!·b=(a+b)! zu unterstellen. Das ist aber ganz falsch. Du solltest nicht zu formal denken, sondern an die wirkliche Bedeutung der Sache denken:

n! = n·(n-1)·(n-2)···2·1
n!·(n+1) = n·(n-1)·(n-2)···2·1 · (n+1) = (n+1)·n·(n-1)·(n-2)···2·1 = (n+1)!

dagegen:
n!·(n+103) = n·(n-1)·(n-2)···2·1 · (n+103)
kann nicht weiter "vereinfacht" werden.

Um weiterzukommen, mußt du nur im linken Zähler der ersten Gleichung n! ausklammern.

31.10.2004, 10:08

oldwise

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oh mein gott geschockt

ich bin sooooo bescheuert! Jetzt habe ich es gesehen!!!

Ich danke euch für eure Geduld!!!

Na klar, wenn ich n! ausklammere, dann steht: n!(m+1+n-m) = n!(n+1) =(n+1)!

Also nochmal vielen Dank!

angenehmen Sonntag noch!

31.10.2004, 10:11

Mathespezialschüler

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Hast du jetzt geschafft? Hast du auch rausbekommen, warum das dann $\begin{eqnarray*} ={n+1 \choose m+1} \end{eqnarray*}$ ist?

31.10.2004, 10:21

oldwise

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na klar!

also danke nochmal.

übrigens, der formeleditor zeigt bei mir keine Bilder an. Ist das normal???

eine andere kurze Frage:

ist

(n+1)!(n+m) = (n+1+m)! ?

gruß

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!

31.10.2004, 12:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von oldwise
(n+1)!(n+m) = (n+1+m)! ?

Nein, das hat dir doch Leopold schon gesagt !!!

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