Aufgabe zur Mengenlehre - ich kriegs einfach nicht raus!! :-((

30.10.2004, 20:13	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Mengenlehre - ich kriegs einfach nicht raus!! :-(( Hallöchen an alle, ich sitze hier über meinen Übungsaufgaben und habe eine dabei, die ich schon von der Aufgabenstellung her nicht richtig verstehe und somit auch gar nicht weiß, was ich machen soll. Sie lautet: "Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die folgende Aussage: Für beliebige Mengen X1, X2, X3 mit X1 vereinigt X2 vereinigt X3 = die leere Menge existieren Indizes i und j aus {1,2,3}, so dass Xi vereinigt Xj = die leere Menge gilt." (Mit "vereinigt" meine ich sozusagen das "und" - leider kann ich dieses zeichen hier nicht darstellen..) Und dann habe ich noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, ob sie kompliziert oder einfach ist: "A x B = leere Menge, genau dann, wenn A = leere Menge oder B = leere Menge." Nun habe ich ja die Definition vom kartesischen Produkt, d.h. dass das kartesische Produkt die Menge der Paare (x,y) mit x € A und y € B ist. Wenn A aber eine leere Menge ist (analog für B = leere Menge), dann gibt es kein x € A und daraus folgt, dass ich auch kein Paar (x,y) bilden kann. Also ist A x B = die leere menge. Ist das von mir zu einfach gedacht oder kann man es so schreiben? Ich hoffe, dass ihr mir antwortet, weil ich echt voll am verzweifeln bin und auch nächste Woche die Lösungen abgeben muss!!!!!!! Hab gerade erst mit dem Mathe-Studium angefangen und dann schon solche Aufgaben.. Also danke schon mal!! Viele Grüße, Gesine
30.10.2004, 21:03	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zweite ist richtig, wenn in A kein Element existiert und in B kein Element exstiert, heisst es, dass auch in AxB kein Element existiert. Aber eine genau dann wenn Beziehung gilt in beide Richtungen, also muss man 2 Sachen zeigen: $\begin{eqnarray} A=\emptyset \ oder\ B=\emptyset => AxB = \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} AxB = \emptyset => A=\emptyset \ oder \ B=\emptyset \end{eqnarray}$ oder man zeigt: $\begin{eqnarray} AxB = \emptyset <=> A=\emptyset \ oder \ B=\emptyset \end{eqnarray}$ wobei <=> der genau dann wenn - Pfeil ist und => daraus folgt bedeutet fuer dein erstes Problem es gilt sicher $\begin{eqnarray} X_1\cup X_2 \cup X_3 = \emptyset \end{eqnarray}$ Dabei ist aber $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ das Zeichen fuer Vereinigung der Mengen und das bedeutet "oder". "und" ist der Durchschnitt 2er Mengen $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ das es zwei Indizes i,j aus {1,2,3} gibt heisst $\begin{eqnarray} X_i \cup X_j = \emptyset \end{eqnarray}$ , wobei i aus {1,2,3} sein kann und j aus {1,2,3} sein kann. Ueberlege Dir was es bedeutet, dass Die Vereinigung aller Mengen die leere Menge ist. Was bedeutet das fuer eine der Mengen? Gruesse Carsten
30.10.2004, 21:17	Dublin_lecturer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Gesine, zur ersten Frage: Ich weiss nicht ob du hier vereinigt (Symbol sieht so aehnlich aus wie ein u) und geschnitten (auf dem Kopf stehendes u) verwechselt hast. Im Falle dass es wirklich vereinigt heisst, ist es einfach: X1 vereinigt X2 vereinigt X3 ist die Menge, die aus allen Elementen besteht, die in X1 oder X2 oder X3 enthalten sind. Wenn diese Vereinigungsmenge leer ist, muessen X1, X2 und X3 alle drei leer sein, denn wuerde eine von diesen Mengen ein Element enthalten, waere dieses auch in der Vereinigungsmenge von X1, X2 und X3. Und wenn man zwei leere Mengen vereinigt, dann bekommt man wieder die leere Menge. Falls es eigentlich "geschnitten" heissen soll, kann man leicht ein Gegenbeispiel finden: X1={1,2}, X2={2,3}, X3={1,3}. Dann ist X1 geschnitten X2 geschnitten X3=leere Menge (da es kein Element gibt, das in allen drei Mengen enthalten ist), aber keine der paarweise geschnittenen Mengen ist leer: X1 geschnitten X2 ={2} X2 geschnitten X3 ={3} X1 geschnitten X3 ={1} Zur zweiten Frage: Deine Ueberlegung hier ist richtig, beantwortet aber nur die Haelfte der Frage: Es heisst hier "genau dann, wenn". Das heisst du musst hier zeigen dass AxB=leere Menge gilt, wenn A oder B leer ist (das hast du getan), und auch umgekehrt zeigen, dass A und B leer sind wenn AxB leer ist. Das geht aber fast genauso: Waeren A und B nicht leer, dann gaebe es mindestens ein x in A und ein y in B, und damit auch ein (x,y) in AxB. Ich hoffe das ist jetzt nicht voellig unverstaendlich, oder "gobbledygook" wie man hier in Irland sagt...
30.10.2004, 21:33	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Carsten, ich habe es bei der 1. Aufgabe genau so, wie es auf meinem Arbeitsblatt steht, abgeschrieben, es geht um das verkehrte u - also den Durchschnitt zweier Mengen. Sieht der Lösungsweg dann anders aus als in deinem Beispiel mit der Vereinigungsmenge? Danke noch mal :-) Gesine
30.10.2004, 21:52	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Also lautet die Aufgabe: $\begin{eqnarray} X_1 \cap X_2 \cap X_3 = \emptyset \end{eqnarray}$ Jetzt sollst du nachschauen, ob $\begin{eqnarray} X_i \cap X_j = \emptyset \end{eqnarray}$ fuer alle moeglichen Kombinationen i,j aus {1,2,3}. Im Prinzip machst du das gleiche, du schaust, was heisst es, dass der Durchschnitt von drei Mengen leer ist. Was bedeutet das jetzt fuer den Durchschnitt 2er Mengen? Am besten du suchst dir ein Beispiel. Der einzigste Unterschied ist das Ergebnis . Gruesse Carsten

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