Mengen nicht gleichmächtig

31.10.2004, 10:56

tecana

Mengen nicht gleichmächtig

Ich weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe lösen kann.

Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass M und P(M)
nicht gleichmächtig sind.

thx im voraus

31.10.2004, 11:26

cheetah_83

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RE: Mengen nicht gleichmächtig
überleg mal wieviel elemente M hat und vieviele elemente P(M) hat
und dann zeig, dass das nie gleich sein kann

31.10.2004, 11:34

Leopold

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Nimm an, es gäbe eine Bijektion

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ M \to \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$

und definiere die Menge

$\begin{eqnarray*} U_0 = \left\{ m \in M \left| \; m \not \in \varphi(m) \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Es muß dann ein $\begin{eqnarray*} m_0 \in M \end{eqnarray*}$ existieren mit

$\begin{eqnarray*} \varphi(m_0) = U_0 \end{eqnarray*}$

Überlege nun, warum daraus die absurde Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} m_0 \in \varphi(m_0) \ \Leftrightarrow \ m_0 \not \in \varphi(m_0) \end{eqnarray*}$

gefolgert werden kann.

01.11.2004, 01:41

fossy

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so hallo

also ich hab mir das durchgelesen und denke es geht auch n bisschen verständlicher
es soll gezeigt werden dass eine menge M nicht gleichmächtig zu ihrer potenzmenge ist
naja ...mächtigkeit...anzahl der elemente
da gibts doch nen satz für:

wenn die elementeanzahl IAI=n dann IP(A)I=2^n !!!!!

also wenn A zb aus a,b,c besteht dann is die mächtigkeit ja 3=IAI
klar
und die potenzmenge P(A) sind :
die leere menge die menge A selber alle 2er mengen also ab ac bc
und alle einer mengen also a b und c
das sind insgesamt 8=2^3 naja und 3 kleiner 8 also IAI kleiner IP(A)I

soll heissen wir haben da ja schon nen INDUKTIONSANFANG hingelegt
den satz kann man also induktiv beweisen

----------------------------------------------------------------------------------------------------

du kannst auch sagen dass jede injektion f von A in P(A) nie sujektiv sein kann weil (du induktiv beweisen kannst dass) P(A) mehr elemente hat als A selber das heisst ne sujektion kanns also nich werden weil da ja immer elemte aus P(A) übrigbleiben denen du kein argument aus A zuordnen kannst

für nen widerspruchsbeweis brauchst du ja nur ein beispiel bei dems nicht klappt damit wäre die behauptung IAI=IP(A)I ja schon hinfällig

Tanzen

01.11.2004, 08:21

Leopold

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@ fossy

Du hast recht, für endliche Mengen geht das viel einfacher. Das Problem ist nur, daß dein Beweis für unendliche Mengen nicht gilt.

Was du am Schluß sagst, ist dagegen nicht richtig. Es reicht nicht, eine Menge anzugeben, die mit ihrer Potenzmenge nicht gleichmächtig ist. Vielmehr soll das für alle Mengen gezeigt werden. (Für den Beweis einer All-Aussage reicht kein Beispiel.)

01.11.2004, 23:47

fossy

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hm ok
seh ich ein
ist der beweis oben denn allgemeingültig ?
also auch für unendliche mengen ?

nehmen wir mal N als menge
N ist abzählbar unendlich
weil N eine teilmenge von P(N) ist muss also auch P(N) abzählbar unendlich sein ...ist das so richtig ?

naja ist die mächtigkeit dann nicht gleich ?
wenn N äquivalent zu P(N) ?

WENN ja dann gilt M grösser P(M) doch eigentlich auch nur für endliche mengen M

oder bring ich da jetz alles durcheinander ? verwirrt

02.11.2004, 02:46

Tobias

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Zitat:

N eine teilmenge von P(N)

Diesen Satz würde ich nochmal überdenken. Wie sehen denn die Elemente vom Pot(N) aus? geschockt

Der von Leopold skizzierte Beweis ist allgemeingültig, denn er schränkt die Mengen in keiner Weise ein. Er gilt also sowohl für endliche als auch für unendliche Mengen.

Zitat:

M grösser P(M)

Andersrum!

Für endliche Mengen kann man die Mächtigkeiten durch natürliche Zahlen ausdrücken und kann somit auch eine Ordnung festlegen.

Bei unendlichen Mengen würde dieser Vergleich fehlschlagen, weshalb man hier Mächtigkeit über Bijektionen definiert.

02.11.2004, 08:04

Leopold

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siehe dazu auch hier

05.04.2005, 20:42

The_Lion

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Gäbe es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} A: \mathbb N \rightarrow P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n -> A_n \end{eqnarray*}$ , so definiere: $\begin{eqnarray*} X:= {n \in N | n \notin A_n} \end{eqnarray*}$ .

Wir hatten das so gemacht.
Und dazu Beispiele:

A_1 := leere Menge
A_2 := {1,2}
A_3 := {3}
A_4 := {5,6,347}
.
.
.

X = {1,4,...}
Ich verstehe nicht so gant wie man auf die Mengen A_n bzw X kommt . Ist wohl ne triviale Frage, aber ich will nicht bis in die Nacht darpber nachdenken, bis ich das verstehe.

Danke.

15.11.2006, 18:58

timadler

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Könnte jemand diesen Ansatz nochmal erklären? Ich verstehe da den Zusammenhang mit den Kardinalitäten noch nicht, und wie und wieso diese neu definierte Menge zustande kommt?!

15.11.2006, 20:07

Mathespezialschüler

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Darf ich fragen, warum du nicht in deinem anderen Thread weiterfragst, so wie ich es vorgeschlagen hatte?
Wie gesagt ... mit Kardinalitäten hat das hier eher weniger zu tun. Schau dir nochmal die Definition von Gleichmächtigkeit an!
Wie diese Menge zustande kommt, steht ja durch ihre Definition schon da. Und zu "wieso?": Weil sie einem hilft, die Aussage zu beweisen. Um das zu sehen, braucht man vielleicht einfach ein bisschen Erfahrung bzw. man sieht es einmal irgendwo und weiß es dann. Kommen halt nur relativ wenige Leute von selbst drauf.

Gruß MSS

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