Supremum, Infimum |
| 31.10.2004, 11:46 | BUW | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Supremum, Infimum ich versuche folgendes zu beweisen: Es seien A,B Teilmengen von R (Menge der reellen Zahlen) und beschränkt und nicht leer, ferner gilt: inf A > 0 und inf B > 0. Die Menge A*B ist definiert als := {ab : a ¬ A, b ¬ B) Nun soll gezeigt werden, dass... 1. sup A*B = sup A * sup B und (wahrscheinlich analog dazu) 2. inf A*B = inf A * inf B Für ein Tip oder gar die Lösung wäre ich sehr dankbar. Mfg BUW Vielen Dank im Voraus. |
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| 01.11.2004, 02:22 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nimm einfach mal an es waere nicht so. Also sup A*B = a und a ungleich sup(A*B). Das sollte dann einfach zu einem Widerspruch zu fuehren sein. (Fallunterscheidung a < sup(A*B), a > sup(A*B), ...) Gruesse Carsten |
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| 01.11.2004, 10:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Supremum, Infimum Vielleicht nochmal etwas anders formuliert: Behauptung: x = Sup A * Sup B ist Supremum von Sup(A*B) Angenommen, es gibt ein y aus A*B mit y > x. Dann gibt es a aus A und b aus B mit y = a*b Also: a * b > Sup A * Sup B Da a <= Sup A und b <= Sup B führt dies zum Widerspruch. |
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| 01.11.2004, 11:08 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Damit hast du aber nicht gezeigt, dass es sich bei sup A*sup B um das Supremum handelt, sondern nur, dass es eine obere Schranke ist und dafür ist ein Widerspruchsbeweis absolut unnötig, aus 0<a<=sup A und 0<b<=sup B folgt nämlich sofort a*b<=sup A*sup B |
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