Ungleichung

31.10.2004, 20:42

Balu

Ungleichung

Mahlzeit

ich brauche mal hilfe, ich weis zwar die lösung von der gleichung weil ich die sehe nur weis ich nicht wie ich sie berechne, könnte mir mal bitte jemand den lösungs weg schreiben.
Danke

Ungleichung: [2/(x+2)]<=2x

31.10.2004, 20:47

Mathespezialschüler

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Erstmal kannst du die ganze Ungleichung durch 2 teilen. Dann musst du mit (x+2) multiplizieren und dann die quadratische Ungleichung mit quadratischer Ergänzung lösen. Du musst da ne Fallunterscheidung machen:

1. Fall
x+2>0

2. Fall
x+2<0
Was passiert dann beim Multiplizieren mit (x+2)?

31.10.2004, 20:52

Balu

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vorzeichenumkehr is schon klar.

ich komme wenn ich alles ausmultipliziere auf 0<=(x+1)²-2 so wie mache ichen da dann weiter?

weil x is ja >= 1 da seh ich ja, aber dem oberen schritt is schluss in meinem kopf.

31.10.2004, 20:54

Mathespezialschüler

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Warum is x>=1??

Auf $\begin{eqnarray*} 0\leq (x+1)^2-2 \end{eqnarray*}$ kommst du, wenn du annimmst, dass (x+2)>0. Dann formst du so um:

$\begin{eqnarray*} 2\leq (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\leq |x+1| \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder Fallunterscheidungen!

31.10.2004, 21:00

Balu

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is net x>=1?????

na bei der fall unterscheidung komme ich auf
1 + (wurzel 2) <= x
1 + (wurzel 2) >= x
und wass tue ich dann damit muss ich das dann noch irgendwo einsetzen

31.10.2004, 21:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Balu
is net x>=1?????

Woher nimmst du das, also wie kommst du darauf?

Zitat:

Original von Balu
1 + (wurzel 2) <= x
1 + (wurzel 2) >= x

Und wie kommst du darauf?

31.10.2004, 21:15

Balu

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na wenn ich für x ein negative zahl einsetze nähert sich die linke seite immer mehr an null an und die rechte geht richtung negativ unendlich.
bei null ist 1 <= 2 ne falsche aussage alsoe geht nur x>0. gut bin eben von natürlichen zahlen ausgegangen.

zur fallunterscheidung: tschuldigung verrechnet.
für den fall (x+2)>0
1. x>= 0.4
2. x<= -2.4
für den fall (x+2)<0
1. x<= 0.4
2. x>= -2.4

kannst du mir sagen ob das korrekt ist und was ich damit jetzt anfange??

31.10.2004, 21:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Balu
na wenn ich für x ein negative zahl einsetze nähert sich die linke seite immer mehr an null an und die rechte geht richtung negativ unendlich.
bei null ist 1 <= 2 ne falsche aussage alsoe geht nur x>0. gut bin eben von natürlichen zahlen ausgegangen.

Sowas solltest du lieber nicht machen. Wenn, dann müsstest du auch noch das Verhalten in der Nähe von -2 untersuchen und das wird zu langwierig. Außerdem ist das mit Zahlen einsetzen auch nie richtig sicher!

Zitat:

Original von Balu
zur fallunterscheidung: tschuldigung verrechnet.
für den fall (x+2)>0
1. x>= 0.4
2. x<= -2.4

Rechne lieber mit genauen Termen, also mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ und nicht mit 0,4! Bis dahin is es aber so erstmal richtig, von dem Runden abgesehen. $\begin{eqnarray*} x+2>0 \end{eqnarray*}$ heißt ja $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ . So und jetzt musst du gucken, für welche x sowohl $\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ gilt. Für welche x gilt also hier die Ungleichung?

Zitat:

Original von Balu
für den fall (x+2)<0
1. x<= 0.4
2. x>= -2.4

Fast richtig bis auf das Runden. Es muss aber heißen: $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\geq x\geq -\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ . Auch hier: $\begin{eqnarray*} x+2<0 \end{eqnarray*}$ heißt ja $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ . Für welche x gilt also hier sowohl $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0\geq x\geq -\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ ??

31.10.2004, 21:40

kikira

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Die Lösungsmengen sind richtig, bloß nicht gut aufgeschrieben.

für Fall 1:

x + 2 >=0

L = { x € R| x >= (-1 + sqrt2) ^ x <= (-1 - sqrt2)

du darfst keine gerundeten Zahlen angeben, sondern nur exakte Ergebnisse.

für Fall 2:

L = { x € R | -1 - sqrt2 <= x <= - 1 + sqrt2 }

Aber nur die Lösungsmenge hinzuschreiben ist nicht die Rechnung. Du wirst das schon schriftlich beweisen müssen, wie du zu der Lösung kommst.

Ansonsten wärst du fertig mit der Rechnung.

lg kiki

31.10.2004, 21:43

Mathespezialschüler

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@kikira
Beide von dir angegebenen Lösungsmengen sind falsch!! Du musst jeweils noch die Einschränkung für x+2 beachten!

31.10.2004, 21:45

Balu

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Für den ersten fall x>= 0,4 und für den zweiten fall keine lösung???

31.10.2004, 21:46

kikira

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aja...das hab ich gar nicht bedacht.......danke MSS

kiki

31.10.2004, 21:48

Balu

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ich weis das ich keine rundungen bei wurzel angeben kann war nur der vereinfachten aufschreibung wegen also:

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$

31.10.2004, 21:50

Mathespezialschüler

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@Balu
In der Lösung musst du dann aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ schreiben und nicht 0,4!! Für den ersten Fall ist das aber schonmal richtig! Ich machs aber jetzt auch mal mit Näherungswerten:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\geq x\geq -\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ kannst du auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{2}-1\leq x\leq \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$

Näherungswerte:

$\begin{eqnarray*} -2,414 \leq x\leq 0,414 \end{eqnarray*}$

Für welche dieser x gilt gleichzeitig auch noch $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ ??

31.10.2004, 21:58

Balu

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wie kommsten du da jetzt drauf???
den schritt kapier ich nicht. ich hab doch x>=0.414 du hast nun aber x<=0.414

31.10.2004, 22:00

Mathespezialschüler

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Das war jetzt schon zu dem Fall x+2<0. Für den Fall x+2>0 ist deine Lösung, wie gesagt, richtig! Augenzwinkern

31.10.2004, 22:13

Balu

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aber für den fall x+2<0 --> x < -2 gibt es doch keine lösung oder etwa doch??

31.10.2004, 22:17

Mathespezialschüler

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Doch, guck mal hier:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} -2,414 \leq x\leq 0,414 \end{eqnarray*}$

Für welche dieser x gilt gleichzeitig auch noch $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ ??

Dafür gibts 100% ne Lösung Augenzwinkern

31.10.2004, 22:18

Balu

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hab noch mal die zeichen kontrolliert und festgestellt für x+2 < 0 kommt: $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} - 1 \leq x < - 2 \end{eqnarray*}$ raus?!?!?!?

Also sind $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} - 1 \leq x < - 2 \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Ungleichung!

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! Danke! (MSS) Augenzwinkern

31.10.2004, 22:23

Mathespezialschüler

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Richtig

Und somit ist die Lösungsmenge der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} L=\{x\in \mathbb R\ |\ x\geq \sqrt{2}-1\ \vee\ -\sqrt{2}-1\leq x<-2\} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

edit: Wenn du noch etwas vergessen hast oder was neues in deinen Beitrag schreiben möchtest, dann kannst du ihn auch bearbeiten! Dazu musst du nur auf den edit-Button klicken! Doppelposts sind nämlich nich so schön Augenzwinkern

31.10.2004, 22:26

Balu

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sorry für die doppelpost, hab aber nochn ne frage warum hast du da ein oder reingehauen, weil x entweder größer -2 oder kleiner -2 ist und es somit nicht gleichzeitig wahr sein kann??

Trotzdem schon mal danke für deine mühe und die zeit die du investirt hast, hast mir sehr geholfen da wieder reinzukommen.
mfg tv

31.10.2004, 22:43

Mathespezialschüler

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Nein, das war ja nur ne Fallunterscheidung. Und das oder bedeutet ja auch, dass nur eins gelten kann. Du hast schon Recht damit, dass das Zeichen auch sagt, dass beides gleichzeitig geht, aber ich weiß nich, wie das andere Zeichen geht ...
Ich guck mal nach.

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