Vektorgeplänkel "2dimensional"

21.03.2007, 15:15

tim taler

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Vektorgeplänkel "2dimensional"

Hallo,

ich möchte gerne anhand eines Beispiels noch ein paar Punkte der Vektorrechnung abklären.

Gegeben seien besipielsweise 2 Vektoren a und b:
a=(-1; 3)
b=(-1;-1)
im zweidimensionalen Raum... [Längenangaben in m]...
Häufig stellt sich nun die Frage nach linearer Abhängigkeit.
1. Welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es um das festzustellen?
2. Was ist die gängiste Methode?

Gruss tt

21.03.2007, 15:22

derkoch

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http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit

21.03.2007, 15:29

riwe

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wenn du in der ebene bleibst, ist das am einfachsten
$\begin{eqnarray*} \vec{a}=r\vec{b} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

werner

21.03.2007, 17:23

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
@ werner:

Stelle ich dadurch dann fest ob sich a als Linearkombination von b darstellen läßt oder wie nennt man dieses Vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=r\vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = r*\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(1) -1 = r*-1 ->r1= 1
(2) 3 = r*-1 ->r2=-3

$\begin{eqnarray*} r1 \neq r2 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit ok? Und was sagt mir nun das r1 ungleich r2 ist?

21.03.2007, 17:58

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
nix r1 und r2, du bekommst r = 1 und r = 3, also einen widerspruch.
wenn sich das lgs nicht lösen läßt so wie bei dir, sind die beiden vektoren linear unabhängig.

exakt hingemalt heißt es so:

$\begin{eqnarray*} r_1\vec{a}+r_2\vec{b}=\vec{o} \end{eqnarray*}$

ist die einzige lösung dieses lgs

$\begin{eqnarray*} r_1=r_2=0 \end{eqnarray*}$

so sind die beiden vektoren linear unabhängig

salopp: die "kurzvariante" geht davon aus, dass es eine von null verschieden lösung t gibt und dividiert durch dieses t.
bei widerspruch siehe oben.

sind die beiden vektoren linear abhängig, so sind sie parallel.
(oder antiparallel Big Laugh

Big Laugh

)
und der eine läßt sich durch den anderen darstellen

werner

21.03.2007, 18:49

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Vielen Dank, hab ich verstanden... Freude

Freude

Und wie nennt man diese Methode nun? Gibt es noch eine weitere gebräuchliche?

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21.03.2007, 18:59

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
das ist die definition der linearen unabhängigkeit (in R2).
$\begin{eqnarray*} r_1\vec{a}+r_2\vec{b}=\vec{o} \end{eqnarray*}$

ob diese methode einen namen hat verwirrt

verwirrt

vermutlich: lineares gleichungssystem
keine ahnung, bin ja autodidakt
werner

21.03.2007, 19:12

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Du Autodidakt? kommt mir eher vor wie ne Professur in Mathe smile

smile

Ok man wird mich verstehen wenn ich es erklären will, Begründung genügt. Falls Dir keine weitere Methode mehr einfällt, käme ich dann gerne zum zweiten Punkt der oft abgefragt wird.
Der Zerlegung eines beliebigen Kraftvektors F bezüglich a und b, was wir meist in einer kleinen Skizze darstellen sollen.
Wählen wir mal F (1,7)... wie gehe ich dann am besten bei der Zerlegung vor?

21.03.2007, 19:37

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
was ist was verwirrt

verwirrt

F(1,7) sind das koordinaten?
a und b vektoren bzw. die richtungen der gesuchten kraftkomponenten?
werner

edit zu deiner frage l.a.:
in R2 fällt mir eigentlich nix besseres ein.
entweder exakt nach definition oder methode "namenlos", was eh dasselbe ist.
im prinzip kannst du das (in R2) natürlich auch über das skalarprodukt testen.

wenn $\begin{eqnarray*} cos\phi =\pm 1 \end{eqnarray*}$ sind sie linear abhängig

21.03.2007, 20:39

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
gut, danke!

Zur Zerlegung:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun F in Richtung von a und b zerlegen?

21.03.2007, 20:48

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
stichwort:
kräftePARALLELOGRAMM.
ich male dir noch ein bilderl
werner

$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu=-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

werner

22.03.2007, 11:10

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Dankeschön fürs Bilderl. Habe mich noch durch
http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%A4fteparallelogramm und
http://www.physikabitur.info/Mechanik/91011%20Kraefte1.pdf´,
gelesen ... Wie bist Du aber bei "dieser" Konstruktion genau vorgegangen? Entspricht die Länge ab der Spitze von Vektor a, der Länge des Vektor b?

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \lambda \vec{a} + \mu\vec{b} \end{eqnarray*}$
ok!(umstellen in LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ergibt lamba und mu!
Was genau sagen die beiden Werte jetzt aus, d.h. wie kann ich die Antwort hier gestalten?

22.03.2007, 11:32

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
zur konstruktion:
du zeichnest deine 3 vektoren, und bastelst daraus das vektor- bzw. kräfteparallelogramm (hier 1/2 davon), indem du parallele zu a und b an der spitze und der basis von F zeichnest, der schnittpunkt liefert dann die entsprechenden komponenten, also die "vielfachen" von a und b gemäß gleichung. die richtung der pfeile verrät dir nach den regeln der vektorrechnung das entsprechende vorzeichen. das kann man alles direkt aus der skizze ablesen.
dass und ob es stimmt, kannst du den eingezeichneten kreisen entnehmen, die den radius $\begin{eqnarray*} r_1=\mu\cdot\mid\vec{b}\mid \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} r_2=\lambda\cdot\mid\vec{a}\mid \end{eqnarray*}$ haben.

damit sollte die letzte frage beantwortet sein: die beiden parameter sagen dir, "wie oft du den entsprechenden vektor nehmen mußt", also den vektor a 1.5-mal.

alles klar verwirrt

verwirrt

selber machen ist einfacher als es zu erklären verwirrt

verwirrt

werner

23.03.2007, 15:00

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Sehr gute Erklärung! Soweit komme ich klar...
Nun drängt sich mir aber sofort die Frage auf wie ich diesen Schnittpunkt in der Skizze notfalles rechnerisch bestimmen kann?
Anhand der Kreisgleichung?

$\begin{eqnarray*} K1: (x-0)^{2} + (y-0)^{2} = r_1^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K2: (x-1)^{2} + (y-7)^{2} = r_2^{2} \end{eqnarray*}$

23.03.2007, 15:27

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
natürlich, steht ja da.

werner

23.03.2007, 17:02

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Schön, die lineare Abhängigkeit und die Zerlegung von Vektoren im zweidimensionalen Raum sind im Kasten.
Dann mal weiter...
Auch oft in den Aufgaben zu finden ist die Frage nach der Arbeit die eine Kraft F entlang eines Vektors verrichtet.
Welche Arbeit verrichtet die Kraft F entlang des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{OA}=a ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{OA} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnung über das Skalarprodukt nach wikipedia:
Für eine ortsunabhängige Kraft F , die entlang eines geraden Weges OA wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \vec{W} = \vec{F} *\vec{OA} = \vec{F} *\vec{OA} * \cos(alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{W} = 20 KN \end{eqnarray*}$

Ist das in Ordnung?

23.03.2007, 17:29

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"

Zitat:

Original von tim taler
Schön, die lineare Abhängigkeit und die Zerlegung von Vektoren im zweidimensionalen Raum sind im Kasten.
Dann mal weiter...
Auch oft in den Aufgaben zu finden ist die Frage nach der Arbeit die eine Kraft F entlang eines Vektors verrichtet.
Welche Arbeit verrichtet die Kraft F entlang des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{OA}=a ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{OA} = \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnung über das Skalarprodukt nach wikipedia:
Für eine ortsunabhängige Kraft F , die entlang eines geraden Weges OA wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \vec{W} = \vec{F} *\vec{OA} = \vec{F} *\vec{OA} * \cos(alpha) \end{eqnarray*}$

dein $\begin{eqnarray*} \vec{W} = 20 KN \end{eqnarray*}$

Ist das in Ordnung?

$\begin{eqnarray*} \vec{W} = \vec{F} *\vec{OA} \end{eqnarray*}$

das sollte genügen und ist richtig
dein ergebnis hast du doch auch RICHTIG so berechnet verwirrt

verwirrt

über die einheiten kann ich nichts sagen, da müßtest du die der kraft und des weges beisteuern

werner

23.03.2007, 17:44

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Dank Dir Werner.
Sorry, die Kraft in KN, der Weg in m...

24.03.2007, 19:16

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Ansonsten könnte man noch das Moment der Kraft F berechnen...

Die Kraft $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
greift ja im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{O} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an...
Kann man nun das Moment M der Kraft F bezüglich eines beleibigen Punktes berechnen? z.B.
Der Punkt sei $\begin{eqnarray*} P =\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{a} \end{eqnarray*}$
Das Moment ...

$\begin{eqnarray*} \vec{M} = KreuzP(\vec{F}, \vec{a}) \end{eqnarray*}$

In Ordnung ? Ist außer dem Berechnen von Arbeit und Moment noch etwas weiteres "physikalisches" vektoriell zu ermitteln?

Projektionen haben wir ja schon ein paar gemacht, das klappt denke ich nun.
Bsp.:
Projektion von b auf a !
Vektorbelegung wie gehabt...

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach der Formel...

$\begin{eqnarray*} \vec{b_a} = [(\vec{b} *\vec{a}) /(\vec{a} *\vec{a})]* \vec{a} \end{eqnarray*}$

Richtig?

Fällt Dir vielleicht noch eine gute Frage zum Thema ein, werner ?
Welche "Rechenoperationen" sind noch häufig gefordert?

Gruß, tt

24.03.2007, 19:52

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
soweit ich sehe, stimmt das
(voraussetzung ist, dass F in O angreift)
kreuz = vektorprodunkt verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \vec{M} =\vec{a} \times \vec{F} \end{eqnarray*}$
damit verläßt du allerdings die ebene.

in der physik schwirren die vektoren nur so herum:
mechanik, kinematik, elektrisches wie maxwellsche gleichungen, optik, elastizitätslehre, usw. usw.

projektion ist ok.

werner

rechenoperationen mit vektoren?
skalarprodukt, vektorprodukt, lineare abhängigkeit, zusammenbasteln von vektoren

verwirrt

verwirrt

24.03.2007, 20:04

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Zusammenbasteln von Vektoren bedeutet ??
Also falls Du noch ne gute Frage/Aufgabe hast, nur her damit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kreuzprodukt = Vektorprodukt, genau Freude

Freude

Die Rechenoperationen die Du ansprichst hätten wir ja hier alle schon durch soweit. Aber falls Du noch was aus der Physik hast was ein wenig in den Themenbereich Bauwesen passt, wäre ich dankbar.

24.03.2007, 21:38

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
das was wir gerade gemacht haben. zerlegen und zusammensetzen.

da gibt es genug, z.b tragwerke, durchbiegung etc.
eins von papula

werner

25.03.2007, 11:11

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Ein tolles bilderl (->Tigerente)!!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Aufgabe:
Ein schönes Beispiel. In Statik habe ich gelernt es wie folgt zu berechnen...
Als erstes bestimmen wir uns anhand von Pythagoras die restlichen Größen im Dreieck ABS. Dann Zerlgung von F in eine horizontale und in eine vertikale Komponente über sin und cos...
Dann muss Fa ebenfalls zerlegt werden (horiz. u. vertk. unter dem Winkel den wir aus Pythagoras haben...).
Dann stelle ich die Summe der Horizontal- sowie die Summe der Vertikalkräfte auf. Das ergibt sozusagen ein LGS mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Die Unbekannten sind Fa und Fb. Fertig!
Würdest Du es auch so machen?

25.03.2007, 18:04

riwe

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Freude

Freude

ohne ins detail zu gehen, würde ich sagen ja.
werner

die angegebenen lösungen sind
Fa = 14.45 kN
Fb = 16.56 kN

25.03.2007, 19:42

tim taler

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RE: Vektorgeplänkel "2dimensional"
Ok schön. Dann bedanke ich mich nochmal für die ganze Hilfe werner und schliesse das Thema fürs erste ab.

Gruß, tt

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