Gruppe mit neutralem Element |
| 01.11.2004, 13:34 | Svende | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppe mit neutralem Element Also, habe hier noch eine Aufgabe, mit der ich nicht ganz klar komme: Sei (G,*) eine Gruppe mit neutralem Element e. Sei a*a=e für alle aEG. 1) Beispiel für eine Gruppe G mit mindestens zwei Elementen, die diese Eigenschaft hat. Kann ich da shcreiben: Sei (G,x) eine Gruppe mit neitralem Element e= 1. Sei a,bEG, a=1, b=-1. Dann gilt a x a= 1 = e und b x b = 1 = e Scheint mir etwas simpel?!? 2) Aufgabe dazu: Beweisen Sie, dass jede Gruppe, die diese Eigenschaft hat, abelsch ist. Hinweis: Seien a,bEG: Wie sieht das zu a*b inverse Element aus? Mein Ansatz dazu: Das zu a*b multiplikativ inverse Element ist (a*b)hoch -1. Das wäre dann in meinem konkreten Fall axb= -1= (a*9 hoch -1=-1. Das hieße (a*b) wäre zu sich selbst invers. Es gibt außerdem das neutrale Elemet 1, a x b= b x a, also meiner Meinung nach eine abelsche Gruppe? Aber irgendwie ist das komisch... Irgendjemand eine Hilfe parat? Wäre toll! |
||
| 01.11.2004, 14:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aufgabe 1 In der Tat kannst du hier also Beispiel mit der Multiplikation nehmen (als Teilmenge von ). Aufgabe 2 Leider kann ich deine leicht kryptischen Zeichen nicht lesen. Ich schlage dir Folgendes vor: Wende das Gesetz an, und beachte, daß alle Elemente zu sich selbst invers sind. |
||
| 01.11.2004, 15:01 | Svende | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, hatt da noch eine Idee: a hoch -1* b hoch -1 ist das inverse Element zu MUltiplikativen von a*b. a+a=e und b*b =e. a*b*a-1*b-1=e daraus folgt: a*b*a-1*b-1= a*a und a*b*a-1*b-a=b*b das wiederum heißt,dass a=b*a-1*b-1 b=a*a-1*b-1 Daraus folgt: a*b= a-1*b*b-1*a*a-1*b-1 = a-1*b-1 Das heißt, a*b ist zu sich selbst invers. Aber wie schließt man davon, dass a*b abelsch ist? |
||
| 01.11.2004, 15:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Beweis stimmt nicht. Es geht schon mit einer falschen Formel los. Richtig ist: Du darfst hier auf der rechten Seite nicht vertauschen, es sei denn, die Gruppe ist abelsch. Aber das sollst du ja gerade zeigen. Gehe so vor, wie ich es im vorigen Beitrag geschildert habe. Gehe also von der obigen Formel aus und beachte, daß jedes Element zu sich selbst invers ist. Dann steht es schon da. |
||
| 01.11.2004, 20:37 | MarieS | Auf diesen Beitrag antworten » |
Darf die gleiche Aufgabe bearbeiten, allerdings fehlt mir noch die zündende Idee, wie ich die genannte Regel in den Beweis einbaue. 
Also, noch mal ganz langsam: Es ist zu beweisen, dass eine Gruppe (G,*) mit neutralem Element e UND a*a=e für alle a Element G, abelsch ist. Das heißt für mich, ich muß zeigen, dass gilt: a*b=b*a Ich habe gegeben: a*a=e und b*b´=e Wie bringe ich das jetzt zu ´nem Beweis zusammen? Hinweis: * bezeichnet allgemein Verknüpfung, nicht eine multiplikative Verknüpfung. Bei der von Leopold genannten Regel steht zwischen a und b "nichts" > steht dieses "nichts" für * oder x (für multiplikativ) |
||
| 01.11.2004, 21:23 | eule | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das nichts steht für die allgemeine Verknüpfung (Faulheit siegt). Kann man leicht zeigen. Aus folgt das ja. Dann wie gesagt das inverse der von a und b einsetzen. Mehr kann man nicht helfen ohne es hinzuschreiben. |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
