Erster Gewinn

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Lord Tomek Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Gewinn
Hallo!

Habe für die nächste Übung folgende Aufgabe vorzubereiten:

In einem Behälter befinden sich n Kugeln, n-1 schwarze und eine weiße. Zwei Personen ziehen abwechselnd nacheinander willkürlich jeweils eine Kugel. Wer zuerst die weiße Kugel zieht, hat gewonnen. Man berechne dieWahrscheinlichkeit mit der die zuerst ziehende Person gewinnt, wenn die gezogene Kugel vor der nächsten Ziehung wieder zurückgelegt wird (und der Behälter gut durchgemischt wird). Ist das Spiel fair? (Man wende den Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit an.)

Mein Problem ist die Sache mit dem Zurücklegen. Sonst wäre es ja ganz leicht zu berechnen...

Hoffe, ihr könnt mir hier weiterhelfen!

Vielen Dank
Thomas
integralschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jeder, der eine Kugel gezogen hat, wieder die Kugel zurücklegt,
hat jeder die gleiche Wahrscheinlichkeit, die weiße Kugel zu ziehen.
Diese beträgt 1/n. Der erste, der zieht, kann vielleicht etwas eher gewinnen; Begründung: wenn der Spieler1 k-mal zieht, dann zieht
der Spieler2 k-1 -mal.
Lord Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Danke mal, aber ich brauche etwas konkreteres... Formel, Verteilung, Wahrscheinlichkeit... "Vielleicht etwas wahrscheinlicher" genügt da leider nicht ;-)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sei die Wkt, dass der erste Spieler (d.h. der zuerst am Zug ist) gewinnt, und dann die Gewinnwkt des zweiten Spieler.

Dann gibt es beim Ziehen der ersten Kugel zwei Möglichkeiten:

1.Fall: Er zieht die weiße und gewinnt. Das geschieht mit Wkt .

2.Fall: Er zieht eine schwarze Kugel, das geschieht mit Wkt . In dem Fall vertauschen nun beide Spieler im Restspiel ihre Rollen:
Der zweite Spieler ist nun der erste, der dran ist, dann erst der erste Spieler. In diesem Teilfall ist also die bedingte Gewinnwkt für Spieler 1 gleich .

Ergibt summa summarum durch Addition der Gewinnwkten beider Fälle:



oder nach umgestellt .


Kannst es auch gern über den vollständigen unendlichen Baum machen, und geometrische Reihen, da kommt aber auch nix anderes raus. Augenzwinkern


P.S.: Wkt = Wahrscheinlichkeit Augenzwinkern
Lord Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank! Wäre es vielleicht noch möglich, ein wenig genauer zu erläutern, wieso man wirklich mit zwei Summanden auskommt!? Irgendwie stehe ich da ein wenig auf der Leitung... Auch die Multiplikation des zweiten mit (1-p) ist mir nicht ganz klar...

Der Ansatz über die geometrische Reihe scheint mir da "logischer". Da würde für Spieler 1 sowas rauskommen wie: . Allerdings habe ich trotz 2er auf Analysis 1 Prüfung keine Ahnung, wie man den Grenzwert berechnet, wenn nicht alle (in unserem Fall nur gerade) Exponenten vorkommen. Dieser müsste ja n/(2n-1) sein, nachdem beide Methoden zum selben Ergebnis kommen sollten... Auch hier vl ein kleiner Tipp!?

Vielen Dank nochmals!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lord Tomek
Allerdings habe ich trotz 2er auf Analysis 1 Prüfung keine Ahnung, wie man den Grenzwert berechnet, wenn nicht alle (in unserem Fall nur gerade) Exponenten vorkommen.

Potenzgesetz anwenden!!! Hier also

mit
 
 
Lord Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Ups... Hätte ich auch selber draufkommen können. Danke, jetzt ist jedenfalls alles klar (und die andere Methode werde ich mir auch noch mal durch den Kopf gehen lassen...)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zur anderen Methode: Betrachten wir doch mal die Ereignisse

... Spieler 1 gewinnt das Gesamtspiel
... Spieler 1 gewinnt den ersten Wurf

Dann gilt nach der Formel der totalen Wkt

,

von Schülern auch gern als "Baumdiagramm" bezeichnet. Augenzwinkern

und sollten klar sein. Ebenso , denn wenn Spieler 1 den ersten Wurf gewinnt, ist das Spiel ja schon zu seinen Gunsten vorbei.

Der eigentliche Clou ist, dass die bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1 im zweiten Fall, also , genau der eigentlichen Gewinnwahrscheinlichkeit des zweiten Spielers entspricht!!! In Formeln:



Dies alles in (*) eingesetzt ergibt meine obige Rechnung.
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