Abelsche Gruppe

21.03.2007, 16:25	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppe Habe hier eine Aufgabe, wo ich absolut 0 Ahnung habe:
21.03.2007, 16:32	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abelsche Gruppe Hi! Du weißt aber, was eine abelsche Gruppe ist, oder??? Eine Gruppe ist eine Menge $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zusammen mit einer Abbildung $\begin{eqnarray} G\times G\rightarrow G \end{eqnarray}$ , sodass gilt: a) $\begin{eqnarray} a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,~\forall~a,b,c\in G \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \exists~e\in G~\forall a\in G~:~a\cdot e=e\cdot a=a \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \forall~a\in G~\exists a^{-1}\in G:~a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} a\cdot b=b\cdot a,~\forall~a,b\in G \end{eqnarray}$ Deine Gruppe ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit der Multiplikation, und deine Abbildung ist wie definiert angegeben. Prüfe einfach alle Eigenschaften von oben nach!
21.03.2007, 16:43	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber ich verstehe nicht was bei mir a und was b ist!?
21.03.2007, 16:52	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
a und b sind Elemente deiner Gruppe. Es gilt die Gruppenaxiome nachzuweisen.
21.03.2007, 16:59	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Na probiere dich doch mal an ersterem - der Assoziativiät: Sei $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Wir wollen obige Aussage zeigen. Es gilt: $\begin{eqnarray} a\cdot (b\cdot c)=a\cdot (b+c+1)=a+(b+c+1)+1=(a+b+1)+c+1=(a\cdot b)+c+1=(a\cdot b)\cdot c \end{eqnarray}$ Begrüdung für die Schritte sind jeweils die Kommutativität und Assoziativität in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Probiere dich jetzt selbst.
21.03.2007, 16:59	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber woher bekomme ich denn ein C? Gibt es doch in meiner Aufgabe garnicht!?
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21.03.2007, 17:09	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh je, du kannst dir doch so viele Elemente nehmen wie du halt brauchst aus deiner Menge. Du kannst die doch auch $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ nennen. Ist vollkommen egal.
25.03.2007, 18:54	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
JA, verstehe...kann aber das: $\begin{eqnarray} a\cdot (b\cdot c)=a\cdot (b+c+1)=a+(b+c+1)+1=(a+b+1)+c+1=(a\cdot b)+c+1=(a\cdot b)\cdot c \end{eqnarray}$ schwer nachvollziehen! Ich weiß was es zeigen soll, weiß aber nicht wie du auf die Schritte kommst!
25.03.2007, 18:57	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
er wendet einfach nur die regel an, die dir vorgegeben wurde... $\begin{eqnarray} a\cdot b = a+b+1 \end{eqnarray}$
25.03.2007, 19:00	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, und wie kommt er dann darauf: $\begin{eqnarray} a\cdot (b\cdot c)=a\cdot (b+c+1) \end{eqnarray}$
25.03.2007, 19:00	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b\cdot c=b+c+1 \end{eqnarray}$ Das ist die Definition!!!!!!!
25.03.2007, 19:03	H-Man	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das kann man dann so überleiten...alles klar...dann versuch ich mal weiter zu schauen! Danke erstmal, das war ne Denkhürde... ;-)

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