Umkehrfkt.

21.03.2007, 18:04

Albertino

Umkehrfkt.

hi,

hab die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,5(x-4)^2 + 3 \end{eqnarray*}$

nun sollte ich die Umkehrfunktion bilden.

Stimmt die?

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{6-2x} +4 \end{eqnarray*}$

mfg

21.03.2007, 18:09

pseudo-nym

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Die ist schon aus dem Grund falsch, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,5(x-4)^2 + 3, ~~ x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

nicht bijektiv, also nicht eindeutig umkehrbar ist. Schränke am besten erst mal den Definitionbereich ein.

21.03.2007, 18:09

pinkly

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mh... ^^

21.03.2007, 18:09

tigerbine

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RE: Umkehrfkt.
Erste Frage:

Ist Die Funktion komplett auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Umkehrbar?

21.03.2007, 18:12

Albertino

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sie ist nur für $\begin{eqnarray*} x\in [0;4] \end{eqnarray*}$ definiert.

21.03.2007, 18:20

tigerbine

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Wer / Was ist nur da definiert? verwirrt

21.03.2007, 18:22

Albertino

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also f(x) sei definiert.

21.03.2007, 18:33

tigerbine

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Nein, f ist auf ganz R definiert, du musst aber jeden Parabelast einzeln umkehren.

21.03.2007, 18:35

Lazarus

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Entscheident für die Umkehrfunktion sind nicht die Nullstellen der Funktion f sondern die der 1ten Ableitung, weil die Umkehrfunktion da eine senkrechte Tangente hätte ....

21.03.2007, 18:35

Albertino

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laut aufgabenstellung ist f(x) nur von 0 bis 4 definiert.

Meine Schuld,hätte es am Anfang gleich hinschreiben sollen.

21.03.2007, 18:36

tigerbine

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Ja, das wäre sinnvoll gewesen. Ist f denn in diesem Intervall injektiv?

21.03.2007, 18:41

Albertino

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ja sie ist injektiv in diesem Bereich.

21.03.2007, 18:44

tigerbine

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Also dann zurück auf Anfang:

$\begin{eqnarray*} y=-0,5(x-4)^2 + 3,~x \in [0,4] \end{eqnarray*}$

Wo liegt y?

$\begin{eqnarray*} -2(y-3) = (x-4)^2 \end{eqnarray*}$

21.03.2007, 18:51

Albertino

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also dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2y+6}=x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2y+6}+4=x \end{eqnarray*}$

x und y vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2x+6}+4=y \end{eqnarray*}$

stimmt soweit?

21.03.2007, 19:20

outSchool

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Definitionsbereich
-

21.03.2007, 19:25

Albertino

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für x<3

21.03.2007, 19:27

Albertino

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ich mein für x > 3

21.03.2007, 19:27

pseudo-nym

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RE: Definitionsbereich

Zitat:

Original von outSchool
Hallo,
wann wird Deine Umkehrfunktion komplex oder wann wird der Radikand negativ?

Die wird überhaupt nicht komplex. Die Funktion ist doch bijektiv.

21.03.2007, 19:30

Albertino

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stimt die umkehrfkt, oder nicht?

21.03.2007, 19:34

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Albertino
also dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2y+6}=x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2y+6}+4=x \end{eqnarray*}$

x und y vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2x+6}+4=y \end{eqnarray*}$

stimmt soweit?

Nein, aus $\begin{eqnarray*} a=b^2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} b=\pm \sqrt a \end{eqnarray*}$ , also auch

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{-2y+6}=x-4 \end{eqnarray*}$

Da du aber nur einen Teil des linken Astes der Funktion umkehren willst, musst du die negative Variante nehmen.

21.03.2007, 19:37

Albertino

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achso, thx.

Wink

endlich kapiert

21.03.2007, 19:50

tigerbine

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Mei, jetzt geht's hier aber rund...

$\begin{eqnarray*} y=-0,5(x-4)^2 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in [0, 4], ~y \in [-5,3] \end{eqnarray*}$

Umstellen:

$\begin{eqnarray*} 6-2y = (x-4)^2 \end{eqnarray*}$

Das Wurzelziehen ist reell möglich, siehe Intervall von y. Mit dem Intervall von x folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{6-2y}=x-4 \end{eqnarray*}$

Wie die Wahl zu treffen ist hat pseudo-nym ja schon erklärt.

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Umkehrfkt.

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