Reihenwert mit Rekursionsformel

21.03.2007, 22:43

Ruprecht

Reihenwert mit Rekursionsformel

Moin!

Ich brauche eine Idee für den Beweis dieser Identität:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{n^m}{n!}=e\cdot k_m \end{eqnarray*}$ .

Dabei sind die $\begin{eqnarray*} k_m \end{eqnarray*}$ rekursiv definiert durch:

$\begin{eqnarray*} k_1=1, k_{m+1}=1+\sum_{i=1}^m k_i\prod_{j=1}^i\frac{(m+1)-j}{j} \end{eqnarray*}$ .

21.03.2007, 23:01

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Riecht doch stark nach Vollständiger Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

22.03.2007, 15:11

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interessant. Diese Formel hätte ich im letzten Semester in der Analysis 1 Klausur gut gebrauchen können. Da war dieser Fall für m=2 zu untersuchen.

Weiß vielleicht jemand, wie man für den Fall m=2 ohne die Rekursionsformel beweist, dass der Grenzwert der Reihe 2e ist?

22.03.2007, 15:16

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} ~ \frac{n^2}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} ~ \frac{n(n-1)+n}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} ~ \frac{1}{(n-2)!} ~ + ~ \sum_{n=1}^{\infty} ~ \frac{1}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Noch Fragen? Augenzwinkern

22.03.2007, 15:37

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man man... Bei Trick17 muss es wohl gelegen haben, obwohl ich ihn schon so oft angewendet habe... Hammer

(wenigstens hat das Klausurergebnis nicht darunter gelitten)

Auf jeden Fall danke für die Ausführung, Arthur

22.03.2007, 17:08

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Ich würde übrigens dem Aufgabensteller eine gewisse Boshaftigkeit unterstellen: Die Rekursion kann man nämlich äquivalent zu dem viel schöneren Ausdruck

$\begin{eqnarray*} k_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{m+1} = \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} k_i\quad\mbox{für}\quad m = 0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$

umformulieren. Aber da ist man der Lösung wohl schon zu nahe. smile

22.03.2007, 17:29

Ruprecht

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Riecht doch stark nach Vollständiger Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Oh je,
natürlich! Hammer

Eine Induktion hatte ich auch kurz erwogen hab aber nicht direkt gesehen wie der Induktionsschritt geht. Nach obigem Hinweis hab ich dann nochmal etwas genauer hingeguckt...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{n^{m+1}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)^m}{n!}=\sum_{i=0}^m{m\choose i}\underbrace{\sum_{n=0}^\infty \frac{n^i}{n!}}_{=e\cdot k_i}=e\cdot\left(1+\sum_{i=1}^m\underbrace{\frac{m!}{i!(m-i)!}}_{=\prod_{j=1}^i\frac{(m+1)-j}{j}}k_i\right)=e\cdot k_{m+1} \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 17:32

Ruprecht

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich würde übrigens dem Aufgabensteller eine gewisse Boshaftigkeit unterstellen

Dann lege ich aber Wert darauf festzustellen, daß ich die Aufgabe zwar hier gepostet habe - aber mitnichten der Aufgabensteller bin! Augenzwinkern

22.03.2007, 18:20

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An diese Interpretation hatte ich gar nicht gedacht, sondern wie üblich an Prof/Assi. Augenzwinkern

22.03.2007, 20:43

Ruprecht

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Zitat:

Original von Arthur Dent
An diese Interpretation hatte ich gar nicht gedacht, sondern wie üblich an Prof/Assi. Augenzwinkern

Und mit der üblichen Interpretation liegst Du in diesem Fall so was von richtig... Augenzwinkern

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