Minimalpolynom

01.11.2004, 18:24	Anfänger_M	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Hallo! Habe mal wieder eine Aufgabe, bei der mir (hoffentlich) jemand helfen kann. Denn ich habe überhaupt gar keine Idee wie ich da anfangen soll... Sei A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ einer m x m Matrix über einem Körper K und sei p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K[t] ein beliebiges Polynom. Das Minimalpolynom von A habe den Grad k, und das Minimalpolynom der m x m Matrix B:= p(A) habe den Grad l. Zeigen Sie, dass l $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ k gilt. Wer hat da eine Idee?!
02.11.2004, 11:34	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom Versuch mal das Minimalpolynom von B als Polynom in A zu schreiben! Gruß vom Ben
02.11.2004, 13:40	Anfänger_M	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom Hallo! Das hilft mir nicht wirklich weiter, da ich keinen so rechten Zugang zu allem, was Polynomringe betrifft, habe! Kann mir da jemand - auch im Hinblick auf die Aufgabe - nochmal helfen?! Vielen Dank!
02.11.2004, 14:19	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom Sei q das Minimalpolynom von B, dann kannst du es schreiben als $\begin{eqnarray} q(x)=q_lx^l+q_{l-1}x^{l-1}+...+q_2x^2+q_1x+q_0=\sum_{i=0}^l q_ix^i \end{eqnarray}$ .Schreib p auch mal so. Dann weisst du noch, dass q(B)=q(p(A))=0 Jetzt schreib mal q(p(A)) aus!
04.11.2004, 08:56	Anfänger_M	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also dann will ich das mal versuchen.... p(x)=p(l)x^1 + p(l-1)x^2 + ... + p(1)x + p(0)= \sqrt{x} x^{l} \sum_{i=0}^n~p(i)x^i Aber wie soll ich jetzt q(p(A))=o darstellen?! Wer hilft mir kleinem Licht nochmal?!
04.11.2004, 20:25	FiiRe	Auf diesen Beitrag antworten »
also das ganze würde ja dann so aussehen: $\begin{eqnarray} B = p(A) = \sum_{k=0}^n~c_kA^{k} \end{eqnarray}$ also die matrix B besteht aus einem Polynom welches durch Potenzen und Vielfache der Potenzen der Matrix A gebildet wird, so wie ich das verstehe =) nun ist q(B) = q(p(A)): $\begin{eqnarray} q(B) = q(p(A)) = \sum_{i=0}^l~q_i( \sum_{k=0}^n~c_kA^{k})^{i} \end{eqnarray}$ aber was bringt das nun? ich kann immer noch keine aussage darüber machen ob l <= k ist... cu FiiRe PS: höre selbe Vorlesung wie er =)
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