Gaußsche Integral: Versteht jemand diese Aufgabe

01.11.2004, 20:38	Georg	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Integral: Versteht jemand diese Aufgabe Hallo! Es geht um folgende Aufgabe, die ich absolut nicht verstehe, vielleicht kann mir ja jemand helfen, oder es kennt jemand die Aufgabe, bzw. die Lösung! ---------------------------------- Überzeugen sie sich (schriftlich!), dass mit dem speziellen Gaußschen Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~dx~e^{-x^{2}/2}=\sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sigma}e^{-x^{2}/2\sigma^{2}} \end{eqnarray}$ auf 1 normiert ist. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} <x^{2}>=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}~dx~x^{2}~e^{-x^{2}/2\sigma^{2}} \end{eqnarray}$ Die direkte Integration ist für Sie nicht machbar. Wenden Sie deshalb folgenden Rechentrick an: Berechnen Sie die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \sigma^{2} \end{eqnarray}$ und zeigen Sie, dass diese Ableitung mit $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ zusammenhängt. Dann nutzen Sie aus, das Sie das Integral $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ bereits kennen. ----------------------------- Wie gesagt, null Ahnung, wär echt net wenn jeman was zum Weg/Lösung schreiben könnte. Danke, Georg
01.11.2004, 22:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur ersten Frage: Substituiere $\begin{eqnarray} x=\sigma u \end{eqnarray}$ Zur zweiten Frage: Den dargebotenen Lösungsvorschlag verstehe ich nicht. Ich würde bei $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~f(x)~\mbox{d}x \ \ \mbox{mit} \ \ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \; \operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}} \end{eqnarray}$ partiell integrieren mit $\begin{eqnarray} u'(x)=1 \, , \ v(x)=f(x) \end{eqnarray}$ Damit kommt das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ins Integral. Und $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~f(x)~\mbox{d}x = 1 \end{eqnarray}$ ist ja bekannt.
02.11.2004, 06:43	Georg	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn bei dir das u in der Substitution?
02.11.2004, 08:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die neue Variable (Substitutionsregel). Falls dir diese Begriffe: Integration durch Substitution, partielle Integration, nicht geläufig sind, weiß ich nicht, wie ich dir diese Aufgabe erklären soll. Die Aufgabe 1 geht so: Man substituiert $\begin{eqnarray} x = \sigma u \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mbox{d}x = \sigma \; \mbox{d}u \end{eqnarray}$ und beachtet, daß sich dadurch die Integrationsgrenzen nicht ändern (denn ±Unendlich mal eine positive Zahl $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bleibt ±Unendlich). $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \; \sigma}\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}}~\mbox{d}x = \int_{-\infty}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \; \sigma}\operatorname{e}^{-\frac{\sigma^2 u^2}{2 \sigma^2}} \sigma~\mbox{d}u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-\frac{u^2}{2}}~\mbox{d}u = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \sqrt{2 \pi} = 1 \end{eqnarray}$
02.11.2004, 17:37	Georg	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt hab ichs verstanden!

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