Untervektorraum

01.11.2004, 22:54

Mathestudent

Untervektorraum

Hi Leute,

ich weiß zwar das es schon ziemlich spät ist, aber ich hoffe irgendjemand von euch kann mir mal kurz erklären wie ich folgende Aufgabe zu lösen habe.
Also:
Wir betrachten $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit Skalaren aus R.
Welche der folgenden Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ sind UVR?

a) {(x,y,z) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ |3x+5y+7z=0}
b) {(x,y,z) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ |3x+5y+7z=1}
c) $\begin{eqnarray*} {(3\lambda ,0, \lambda) \in \mathbb R^{3}|\lambda \in \mathbb R} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} {(\lambda ,\lambda ,0)\in \mathbb R^{3}| \lambda \in \mathbb R}\bigcup {(5\lambda ,\lambda ,0)|\lambda \in \mathbb R} \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} {(\lambda ,\lambda ,0)\in \mathbb R^{3}| \lambda \in \mathbb R}\bigcup {(5\lambda ,5\lambda ,0)|\lambda \in \mathbb R} \end{eqnarray*}$

Ich weiß schon wie ich Aufgabe a) und b) lösen kann und hoffe darauf das jemand von euch mir erklären kann wie das mit Aufgabe c) bis e) gemeint ist bzw. ob ich die genauso auflösen kann wie Aufgabe a) und b).
Womit ich jetzt im Augenblick probleme habe ist das Tripel am Anfang der Aufgaben, denn das kann ich schlecht in Verbindung bringen mit dem Ausdruck.
Nochmals vielen Dank für eure Hilfe. Gott

Mathestudent

01.11.2004, 23:09

carsten

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$\begin{eqnarray*} (3 \lambda ,0,\lambda) \ \lambda \in R^3 \end{eqnarray*}$
ist eine Gerade.
Man koennte sie auch ueber:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mbox{ mit } t \in R \end{eqnarray*}$
ausdruecken.

Gruesse
Carsten

02.11.2004, 15:08

Mathestudent

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RE: Untervektorraum
Hi,

das was ich zeigen muss ist doch folgendes:

1) der Nullvektor existiert in $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$
2) Wähle u, v aus A und prüfe ob u + v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A
3) Wähle $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ und prüfe $\begin{eqnarray*} \lambda*u \in A \end{eqnarray*}$

A:=a)

Ist das soweit richtig?
Wenn ja dann habe ich die aufgabe a) und b) geziegt und herausbekommen das a) ein UVR ist und b) nicht.
Kann die Lösung auch gern hier posten und euch zeigen wie ich das gemacht habe.
Bis dann.

Mathestudent

02.11.2004, 15:43

rad238

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Also wenn das so ist, dann sind c) und e) auch Vektorraume, weil das ja Ursprungsgeraden sind.
d) ist aber nicht abgeschlossen, weil sich das aus zwei verschiedenen Ursprungsgeraden zusammensetzt. Bsp. (1, 1, 0) und (5, 1, 0) sind Elemente von d), aber ihre Summe (6, 2, 0) ist das nicht.

Ich rechne mal für c)

1) Nullvektor: für $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ kommt ja (0, 0, 0) raus.

2) Abgeschlossen: $\begin{eqnarray*} (3u, u, 0) + (3v, v, 0) = (3(u+v), (u+v), 0) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = u+v\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch Element von c).

3) $\begin{eqnarray*} k \cdot (3u, u, 0) = (3ku, ku, 0) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} \lambda = k \cdot u \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch Element von c).

02.11.2004, 16:13

Mathestudent

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Untervektorraum
Hi rad238,

mal eine kurze Frage bezüglich deines Beweises das d) kein UVR ist aber e) schon.
Wie kommst du darauf das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6u \\ 2u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht Element von D ist, aber

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6u \\ 6u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Element von E.

D:=d)
E:=e)

Kannst du mir das anschaulich erklären?

Danke

Mathestudent

02.11.2004, 17:22

Mathestudent

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RE: Untervektorraum
Zum guten Schluss habe ich die folgenden Ergebnisse erhalten, wobei ich mir da bei dem Ergebnis von e) nicht so 100%-ig sicher bin.
Vielleicht kann mir ja jemand sagen ob die ermittelten Ergebnisse richtig sind.
Wäre wirklich dankabr wenn mir das jemand sagen könnte.
Ergebnisse
a) ist UVR
b) kein UVR
c) ist UVR
d) kein UVR (Verletzung der abgeschlossenheit der Addition)
e) kein UVR (Verletzung der abgeschlossenheit der Addition)

Kann das jemand bestätigen.

Danke

02.11.2004, 17:50

rad238

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RE: Untervektorraum

Zitat:

Original von Mathestudent
Wie kommst du darauf das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6u \\ 2u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht Element von D ist, aber

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6u \\ 6u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Element von E.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6u \\ 2u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die x-Komponente müsste man das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bei d) zu $\begin{eqnarray*} \lambda =6u \end{eqnarray*}$ wählen, wenn der Vektor zum ersten Teil der vereinigten Menge gehören soll. Für die y-Komponente wäre aber $\begin{eqnarray*} \lambda =2u \end{eqnarray*}$ nötig. Beides gleichzeitig geht nicht.

Wenn man versucht, den Vektor dem 2. Teil der vereinigten Menge bei d) zuzuordnen, müsste $\begin{eqnarray*} \lambda =\frac{6u}{5} \end{eqnarray*}$ (für x) und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \lambda =2u \end{eqnarray*}$ (für y) sein. Das geht auch nicht.

Anders ist das bei e). Dort ist ja nur eine Ursprungsgerade (mit 2 verschiedenen Schreibweisen) beschrieben. Für die 1. Schreibweise ist das $\begin{eqnarray*} \lambda =6u \end{eqnarray*}$ , für die 2. $\begin{eqnarray*} \lambda =\frac{6u}{5} \end{eqnarray*}$ (jeweils einheitlich für alle 3 Komponenten).

02.11.2004, 18:01

Mathestudent

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RE: Untervektorraum
Vielen Dank für deine Ausführliche Erklärung. Gott

Bis dann

Mathestudent

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