der winter kommt [gelöst]

02.11.2004, 08:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der winter kommt [gelöst] ein bub macht 2 schneebälle, wobei der größere den doppelten durchmesser des kleinen hat. ahnungslos, wie er ist, bringt er sie in die warme stube, um sie seiner großmutter zu zeigen, wo sie zu schmelzen beginnen. da nur die oberfläche der bälle der warmen luft ausgesetzt ist, ist die schmelzende schneemenge proportional zur oberfläche. wieviel ist vom kleineren ball übrig, wenn das halbe volumen des größeren weggeschmolzen ist? fragt sich w.
02.11.2004, 09:23	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumen soll proportional zur Oberfläche abnehmen. Es gilt also mit der Schmeltzeit t, dem Volumen V(t), der Oberfläche O(t) und einer Konstanten k $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} V(t) = -k \cdot O(t) = -k\cdot 4\cdot \pi \cdot r(t)^2 \end{eqnarray}$ . Setzt man die Formel für das Volumen ein, ergibt sich die DGL $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r(t)^3 = -k\cdot 4\cdot \pi \cdot r(t)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\cdot \pi \cdot r(t)^2\cdot r'(t) = -k\cdot 4\cdot \pi \cdot r(t)^2 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt mit r(t) ungleich 0: r'(t) = -k. r(t) = r_0 - kt Der Radius nimmt also linear mit der Zeit ab, der Radius r des kleinen Schneeballs schrumpft also um den gleichen Betrag, wie der Radius 2r seines großen Bruders. Wenn sich das Volumen des großen Schneeballs halbiert, schrumpft sein Radius von 2r auf $\begin{eqnarray} 2 \cdot r \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray}$ , also um den Betrag $\begin{eqnarray} r \cdot (2 - \frac{2}{\sqrt[3]{2}}) \end{eqnarray}$ . Vom kleinen Schneeball bleibt dann das übrig: $\begin{eqnarray} r - r \cdot (2 - \frac{2}{\sqrt[3]{2}}) = r \cdot (\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 1) \end{eqnarray*}$ das sind etwa 58,74%. Volumenmäßig bleiben dann also 0,5874^3 = 20,27% übrig.
02.11.2004, 19:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt werner

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