Unabhängigkeit von Ereignissen |
| 19.11.2003, 16:16 | Lardus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Unabhängigkeit von Ereignissen ich blick bei abhängigkeit/unabhängigkeit von Ereignissen nicht durch. Beispielaufgabe: Aus einem Skatblatt wird blind eine Karte gezogen. Welche zwei der Folgenden Ereignisse sind unabhängig? A: Herzkarte B: Dame C: König D: 8, 9 oder 10 Ergebnis ist: A,B A,C und C,D sind unabhängig ... WIESO?? |
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| 19.11.2003, 17:19 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » |
also ich hatte das zwar noch nicht, aber das könnte doch was mit zu tun haben, dass es z.B. eine Herz Dame gibt. Damit wär A,B aber nicht unabhängig, weil wenn man die Herz Dame zieht, dann sind ja beide Ereignisse gleichzeitig erfüllt 
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| 19.11.2003, 17:20 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lardusich denke es ist einfacher zu erklaeren, warum ereignisse abhaengig sind. ereigniss B und C sind abhaengig, weil die wahrscheinlichkeit einen koenig zu ziehen groesser ist, wenn du davor eine dame gezogen hast, also einen koenig als erste karte zu ziehen. (beispiel: es gibt 32 karten darunter 4 koenige, wenn du eine dame gezogen hast gibt es noch 31 karten, also ist die wahrscheinlich keit einen koenig zu ziehen 4/31 die wahrscheinlichkeit einen koenig als erste karte zu ziehen ist 4/32) wenn du aber eine herzkarte als erste karte ziehst beeinflusst das die wahrscheinlichkeit fuer "koenig als 2. karte" nicht... (die erste karte haette ein koenig sein koennen, oder nicht...) deshalb sind die ereignisse A,B unabhaengig. fuer A,C ist es genauso. warum C und D unabhaenig sein sollen versteh ich allerding auch net... 
gruss pphisch |
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| 19.11.2003, 17:21 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso
Na dann vergiss mal meinen Beitrag oben :P |
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| 19.11.2003, 18:10 | Lardus | Auf diesen Beitrag antworten » |
pphisch, das kannst du auch nicht verstehen, weil die Lösungsblätter, die wir kopiert bekommen hatten teilweise flasch waren
das letze musste A,D heissen 
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| 19.11.2003, 18:27 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » |
achso :P |
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| 19.11.2003, 18:50 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Definition: Das Ereignis A heißt unabhängig vom Ereignis B, genau dann wenn P(A|B)=P(A) Dabei ist P(A|B) die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. Wenden wir die Definition auf das Paar A, B an. P(A) = 1/4 P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Herzkarte ziehen, nachdem eine Dame gezogen wurde. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/4 war es keine Herzdame. Dann gibt es noch 13 Herkarten unter den restlichen 51. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 war es die Herzdame. Dann bleiben 12 Herzkarten von 51. Man kann sich das an einem Baum veranschaulichen. Rechnerisch ergibt sich: P(A|B)=3/4*13/51+1/4*12/51=(3*13+12)/(4*51)=1/4 Es folgt P(A|B)=P(A) und damit sind die Ereignisse unabhängig. Ebenso kann man es sich für die anderen Paare überlegen, bzw. nachrechnen. Es gilt entsprechend, dass A abhängig von B ist, genau dann wenn A nicht unabhängig von B ist, bzw. wenn P(A|B) ungleich P(A) ist. |
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| 29.12.2003, 14:28 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was mir hier immer noch fehlt ist die Frage wie man denn nun P(A|B) ausrechnen soll. Es gilt P(A|B) = P(A und B) / P(B) und das ist natürlich nicht definiert wenn P(B) = 0 ist. Du benutzt in deinem Beweis der Unabhängigkeit bereits die Unabhängigkeit. Besser ist also folgende Definition: Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig wenn P(A und B) = P(A)P(B) gilt. In diesem Zusammenhang gleich mal ne nette Rätselfrage: Folgt aus paarweiser Unabhängigkeit die Gesamtunabhängigkeit einer Menge von Ereignissen ? Beweis ! |
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| 05.01.2004, 23:45 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hatte meine Definition aus einem Schulbuch, in dem alles noch mit Wahrscheinlichkeitsbäumen erklärt wird. Kann gut sein, dass sie nicht exakt genug ist. In meinem Beweis für die Unabhängigkeit benutzte ich ein anschauliches Argument, kein streng mathematisches. Bezüglich deiner Rätselfrage: Wie definiert man die Gesamtunabhängigkeit einer (unendlichen??) Menge von Ereignissen? Ohne einer strengen Definition, würden wir aneinander vorbeiargumentieren. |
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| 06.01.2004, 01:13 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine endliche Menge von Ereignissen {A_i,i=1..n} heisst unabhängig wenn für jede Auswahl {A_i_1, ..., A_i_k} , 2<=k<=n, gilt: P( sum[j=1..k](A_i_j) ) = prod[j=1..k]( P(A_i_j) ). Sie heisst paarweise unabhängig wenn je zwei Ereignisse A_i_1 und A_i_2 unabhängig sind. |
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