Unverständliches Beispiel

02.11.2004, 10:17	Emanuel	Auf diesen Beitrag antworten »
Unverständliches Beispiel Ich muss folgendes Beispiel lösen: Es sei M eine Menge N(Teilmenge von M). Zu zeigen ist: Dann bilden im Vektorraum $\begin{eqnarray} K^{M} \end{eqnarray}$ aller Funktionen M -> K jene Funktionen, die allen Elementen von N das Element 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K zuordnen, einen Unterraum U1. Weiters bilden jene Funktionen, die fast allen Elementen von N das Element 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K zuordnen, einen Unterraum U2. Dabei gilt U1 Teilmenge von U2. Versteht irgendwer, wie ich das zeigen soll? Für Hilfe und Tipps wäre ich sehr dankbar!!!
02.11.2004, 11:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe einmal davon aus, daß $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper ist. $\begin{eqnarray} U_1 = \left\{ f: M \to K \, \left\| \ f(n)=0 \ \ \mbox{für alle} \ n \in \! N \right. \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2 = \left\{ f: M \to K \, \left\| \ f(n)=0 \ \ \mbox{für fast alle} \ n \in \! N \right. \right\} \end{eqnarray}$ Du mußt zeigen, daß mit $\begin{eqnarray} f,g \in U_1 \, , \, \lambda \in K \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f+g \in U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda f \in U_1 \end{eqnarray}$ gilt. Aufgrund der definierenden Bedingung läuft das also darauf hinaus, daß $\begin{eqnarray} 0+0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ gilt. Bei $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ geht das analog, wenn du berücksichtigst, daß "für fast alle" bedeutet: "für alle mit höchstens endlich vielen Ausnahmen". Wenn aber $\begin{eqnarray} f(n) \not = 0 \end{eqnarray}$ höchstens endlich oft gilt und $\begin{eqnarray} g(n) \not = 0 \end{eqnarray}$ ebenfalls höchstens endlich oft, dann gilt auch $\begin{eqnarray} f(n)+g(n) \not = 0 \end{eqnarray}$ höchstens endlich oft.

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