zyklische Gruppen

02.11.2004, 13:49

theachan86

zyklische Gruppen

Zeigen Sie: Hmomorphe Bilder einer zyklischen Gruppe sind wieder zyklisch.

Wie zum teufel mach ich das und was bedeutet eigentlich zyklisch? Hilfe

02.11.2004, 14:04

Tobias

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Eine zyklische Gruppe ist eine von einem Element $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ erzeugte Gruppe:

$\begin{eqnarray*} G = <\pi> \end{eqnarray*}$

Sie hießt deshalb zyklisch, weil ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \pi^\lambda = 1 \Rightarrow \pi^{\lambda + 1} = \pi \end{eqnarray*}$

Die Gruppe hat dann die Elemente

$\begin{eqnarray*} G = \big\{ 1, \pi, \ldots, \pi^{\lambda-1} \big\} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das hilft dir weiter, ich habe nämlcih keine Ahnung, wass ein "homomorphes Bild einer Gruppe" ist.

02.11.2004, 19:27

Poff

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Zitat:

Original von Tobias
...
Sie hießt deshalb zyklisch, weil ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \pi^\lambda = 1 \Rightarrow \pi^{\lambda + 1} = \pi \end{eqnarray*}$
...

das dürfte als Bezeichnung für zyklisch nicht hinkommen, weil das
nämlich für jede endliche Gruppe gilt.

Zitat:

Original von Tobias
Die Gruppe hat dann die Elemente

$\begin{eqnarray*} G = \big\{ 1, \pi, \ldots, \pi^{\lambda-1} \big\} \end{eqnarray*}$
...

das ist der Grund warum sie zyklisch heißt, weil sie einzig aus
Potenzen eines einzelnen Elementes besteht.
.

02.11.2004, 20:25

Tobias

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Ja und ab einem bestimmten Exponenten erhält man die schon dagewesenen Elemente. Man dreht sich sozusagen im Kreis -> zyklisch. Das ist genau das, was ich meinte mit: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so dass...

$\begin{eqnarray*} 1 = \pi^\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi = \pi^{\lambda+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi^2 = \pi^{\lambda+3} \end{eqnarray*}$
...

02.11.2004, 21:44

eine kleine Nachfrage

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@Tobias Und was ist dann (Z,+)? Ist die nicht zyklisch?

@theachan Die Bezeichnung "homomorphe Bild" ist eine (mMn falsche) Bezeichnung für "Bild unter einem Homomorphismus".

28.11.2004, 16:17

Sensemann

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Z,+ is ne zyklische Gruppe unendlicher Ordnung.

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