Vektoren - Kugel

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Caseen Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren - Kugel
Hallo,

sitze grade über meinen Ha und komme absolut nicht weiter..

ich habe 2 Kugelgleichungen gegeben und soll nun prüfen, ob sich diese durchdringen oder nicht. und wie groß der kleinste Abstand zwischen 2 Punkten der Kugeln ist

würde gerne wissen, wie ich da überhaupt anfangen muss, ich sitz schon solange darüber, aber ich finde einfach keinen zugang zu dieser Aufgabe


danke...
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren - Kugel
Wenn sie einander berühren, dann muss gelten:

Der Abstand von M1 zu M2 = r1+r2

Wenn sie einander durchdringen, muss gelten:

Der Abstand von M1 zu M2 < r1 + r2

Wenn sie einander weder durchdringen, noch berühren, dann gilt:

Der Abstand von M1 zu M2 > r1 + r2

Mach eine Skizze und vollzieh nach, was ich da geschrieben hab.

Der geringste Abstand zweier Punkte beider Kugeln:

Probier mal selber anhand einer Skizze und nachdem du herausgefunden hast, ob sie einander durchdringen, oder berühren oder weder noch, wie man das rechnen könnte und poste deine Vermutung.
Ich helf dir dann gern weiter.

lg kiki
Caseen Auf diesen Beitrag antworten »

mh ja ich hab das mit den skizzen gemacht, nur irgendwie hilft es mir nicht so ganz, auch wnen mir das mit dem Abstand und mit dem Radius klar ist...mein Problem bei der Sache ist, dass wir mit dem Thema grade erst angefangen haben, und erst die allgemeine Kreis/kugelgleichung haben und ich diese Aufgabe ja über diesen Kenntnisstand lösen können müsste? nur wie Augenzwinkern

und ich hab bis jetzt immer versucht mit diesen Gleichungen zu rechnen, aber irgendwie kommt da nix gescheites bei raus
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Naja...Voraussetzung für dieses Beispiel ist, dass man sich mit Vektoren in R³ auskennt und die genau durchschaut, denn dann braucht man eigentlich nur zu wissen, wie die Kugelgleichung aufgebaut ist und könnte alles berechnen.

Ich erklär dir mal die Kreisgleichung, denn die Kugelgleichung funktioniert genau gleich:

Die Kreis/Kugelgleichung ist dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt auf deiner Kreislinie, bzw. auf der Kugeloberfläche berechnen kannst.

Jeder Punkt auf der Kugel hat die Koordinaten (x/y/z), daher müssen diese Variablen in der Kugelgleichung vorkommen, damit du dir beliebig viele Punkte auf der Kugel berechnen kannst.

Überleg mal, was du von einer Kugel oder von einem Kreis wissen musst, damit du sie/ihn ins Koordinatensystem zeichnen kannst?
Welche Angaben muss ich dir geben?

Den Mittelpunkt und den Radius...denn sonst wüsstest du nicht, wo die Kugel liegt und auch nicht, wie groß die Kugel ist.
Daher müssen in der Kugelglecihung/Kreisgleichung diese Angaben drin stehen, denn sonst weiß man ja nicht, um welchen Kreis oder um welche Kugel es sich handelt.

Nun die Kreisgleichung:

Ursprungskreis: M = (0/0)

x^2 + y^2 = r^2

das x und das y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf deiner Kreislinie liegt.

Kreis, wenn Mittelpunkt nicht der Ursprung: M(m/n)

(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

x und y sind wieder die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf deiner Kreislinie. m und n sind die Koordinaten deines Mittelpunktes.

Kugelgleichung:

Ursprungskugel:

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Kugel, deren Mittelpunkt nicht der Ursprung ist: M(m/n/o)

(x - m)^2 + (y - n)^2 + (z - o)^2 = r^2

Schad, dass ich dir keine Skizze aufzeichnen kann...denn sonst würdest sofort kapieren, wie man auf alle diese Gleichungen kommt. Man wendet nämlich ganz einfach nur Pythagoras an.

Die Besonderheiten am Kreis sind folgende:

1. Jede Tangente an den Kreis steht im rechten Winkel auf den Mittelpunkt
2. Kennt man 2 Punkte auf dem Kreis, und man macht auf die Strecke P1P2 die Mittelsenkrechte, so geht die durch den Mittelpunkt des Kreises.

Die Besonderheiten bei der Kugel:

1. Jede Tangentialebene an die Kugel steht im rechten Winkel auf den Mittelpunkt der Kugel.
2. Kennt man 2 Punkte der Kugel, P1 und P2, und legt eine Mittelsenkrechtenebene, so liegt der Mittelpunkt auf dieser Ebene.

Rechnen mit Kreis und Kugel:

gegeben ist: M(kreis)=(2/-1) und r = 5
dann lautet die Kreisgleichung:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25

Das heißt: steht deine Kreisgleichung so da, dann kann man sich den Mittelpunkt und den Radius ablesen.
Oft aber steht die Kreisgleichung ausgerechnet da:

x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 25

dann wird sie folgendermaßen angeordnet:

x^2 + y^2 - 4x + 2y = 20 >> so wird sie oft angegeben

und nun muss man sich trotzdem den Radius und den Mittelpunkt ablesen können und das geht so:

Mittelpunkt: der Wert vom x und der Wert vom y bekommen ein umgekehrtes Vorzeichen und werden halbiert:

-4x --> -4(= der Wert) >> +2 ( war die x-Koordinate des Mittelpunktes)
+2y >> +2 (=der Wert) >> -1 (war die y-Koordinate des Mittelpunktes)

daher: M( +2/-1)

Radius: du quadrierst die Koordinaten des Mittelpunktes, und addierst sie, und dann wird diese Zahl zu deiner Zahl in der Kreisgleichung ( aber nur, wenn die Zahl auf der rechten Seite steht) dazuaddiert. Daraus die Wurzel war der Radius.

also:
2^2 + (-1)^2 = 5

20 + 5 = 25 = r^2
r = 5

Bei der Kugelgleichung funktioniert das genauso:

x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z = 35

M = (2/-3/+1)
Radius:

2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 14
14 + 35 = 49 = r^2
r = 7

Was du bei deiner Aufgabe machen sollst, ist, dass du den Abstand von M1 zu M2 berechnest.
Scheitert es daran, dass du schon mal nicht weißt, wie man den Abstand zweier Punkte berechnet?
Poste doch mal deine Kugelgleichungen und sag mir genau, was du nicht rechnen kannst.

lg kiki
Caseen Auf diesen Beitrag antworten »

mh also die Kugelgleichungen lauten so:

Kugel 1:

[ Vektor x - (2/3/1) ]² - 64 = 0

Kugel 2:

[ Vektor x - ( 8/-3/4) ]² -16 = 0


Hab die Vektoren jetzt einfach so aufgeschrieben,da ich nicht weiß, wie ich es sonst darstellen kann...

dann hab ich mir überlegt wenn man jeweils +64 und +16 rechnet, hat man die Gleichungen in der normalen Form stehen und kann den Radius ablesen, r1= 8 und r2=4..so weit so gut und ab hier komm ich nicht weiter, da ich nicht genau weiß wie ich dann weiter rechnen muss...

(2/3/1) und (8/-3/4) stellen ja den Mittelpunktsvektor bzw jeweils den Mittelpunkt der beiden Kugeln dar, aber ich wieß dnan nicht weiter...hab ein richtiges Brett vorm Kopf unglücklich
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Lies doch mal meinen 1. Beitrag, da hab ich geschrieben, dass du den Abstand von M1 zu M2 berechnen sollst und schauen sollst, ob er kleiner, größer oder gleich r1 + r2 ist.

Mach das mal....oder wo liegt dann das Problem?

lg kiki
 
 
Caseen Auf diesen Beitrag antworten »

mh wenn man den Abstand von M1 zu M2 berechnet, berechnet man doch den Vektor von M1 nach M2?
wäre das dann einfach -Vektor m1 + vektor m2,also über den Ursprung... also -(2/3/1) + ( 8/-3/4) = (6/-6/3) und das verglichen mit dem Radius ergibt dann das ergebnis?

oder krieg ich jetzt nichtmal mehr das hin? :/
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Die Strecke M1M2 ist der Betrag des Vektors M1M2

Einen Vektor berechnet man:

M1M2 = M2 - M1

Den Betrag des Vektors (x/y/z) berechnet man mit:

sqrt( x² + y² + z²)

Der Betrag des Vektors ist seine Länge.
Und du willst ja die Länge des Vektors M1M2 wissen.

lg kiki
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht hast du nur die falschen skizzen gemacht
werner Prost
Caseen Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habs jetzt geschafft und gleich dann auch Mathe...Vielen Dank für die Hilfe
kikira du warst meine Rettung Augenzwinkern
lilalo11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren - Kugel
Ich hab das mit dem Abstand zweier Kugeln berechnen auch ausprobiert, aber bei folgenden Kugeln funktioniert es nicht: K1 mit M (0|0|0) und r=3 und K2 mit M (2|-3|6) und r= 10. Der Abstand von M1 zu M2 is 7 aber r1+r2 ergeben 13. Wo hab ich nen Denkfehler?
Vielen Dank im Voraus,
lilalo11
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren - Kugel
Willkommen im Matheboard!

Ja, die Bedingungen müssen hier tatsächlich etwas erweitert werden:

Zitat:

Wenn sie einander berühren, dann muss gelten:

Der Abstand von M1 zu M2 = r1+r2
oder der Abstand von M1 zu M2 = |r1-r2|

Wenn sie einander durchdringen, muss gelten:

Der Abstand von M1 zu M2 < r1 + r2
oder der Abstand von M1 zu M2 > |r1-r2|

Wenn sie einander weder durchdringen, noch berühren, dann gilt:

Der Abstand von M1 zu M2 > r1 + r2
oder der Abstand von M1 zu M2 < |r1-r2|



Viele Grüße
Steffen
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren - Kugel
vielleicht hilft ein Bilderl Augenzwinkern
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