Vektorraum+Hülle |
| 02.11.2004, 14:23 | Michi Böhm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vektorraum+Hülle hätte irgendjemand Zeit und Geduld mir einige Unklarheiten bezüglich Vektoren zu erklären? Ich hoffe, ja! Ich habe mich mitlerweile damit abgefunden, dass Vektoren nichts mit anschaulichen Pfeilen zu tun haben müssen, sondern einfach Räume sind, die die aus der Geometrie abstrahierten Bedingungen für Addition und Streckung von Vektoren erfüllen (also zum Bsp. auch die Menge von Abb. usw.) Wo ich aber leider aussteige, ist bei der Hülle, also der Menge aller Linearkombinationen. Im 2-dim. Raum sind 2 von einander unabhängige Vektoren genügen um die gesamte Ebene, die die beiden aufspannen als Linearkombination der beiden ausdrücken zu können. Aber warum muss man das in Indexschreibweise anschreiben, was heißt: Summe: xi*mi i?I xi sind hier die Koeffizienten und mi die Vektoren, aber was soll der Index? Gibt es nicht demnach für einen Vektor einen fixen Koeffizienten, also z.B. zu m1 gibt es x1 (fix) - das heißt x1 kann ich nur einmal strecken? Aber das ist ja nicht die Menge aller möglichen Linearkomb., denn dazu müsste doch x1 in zB ganz R "laufen" oder? Woher kommt der Index überhaupt? Und was soll immer diese Vorraussetzung "fast alle xi=0"?? Klar, den Teil der Summe für den xi=0 kann ich aus der Summe streichen, aber warum nehme ich überhaupt an, dass xi=0 gilt? Und dann ist hier noch ein Beweis, der mir auch nicht ganz klar ist: Sei (mi)i?I eine Familie in V. Dann ist die Hülle [(mi)i?I] gleich dem Durchschnitt aller jener Unterräume von V, welche {mi | i?I} enthalten. Also dieser Satz besagt (in meinen Worten ausgedrückt) die Hülle ist der kleinstmöglich Unterraum von mi und die Hülle von mi ist in jedem größeren Unterraum (mit mi ? UR) enthalten. Aber hier der Beweis: 1:Sei S die Menger aller Unterräume von V,welche {mi | i?I} enthalten. Da V in S liegt --> S ist nicht leer --> Durchschnitt aller jener Unterräume von V, welche {mi | i?I} enthalten ist ein Unterraum! 2. Der Unterraum [(mi)i?I] gehört zu S, dasich für alle i?I der Vektor mi als Linearkombination mi=1*mi schreiben lässt. Somit gilt: Durchschnitt aller jener Unterräume von V, welche {mi | i?I} enthalten ist eine Teilmenge von [(mi)i?I] . Diesen Schritt/Schluss verstehe ich überhaupt nicht - klar kann ich mi als Linearkomb. von sich selbst darstellen, aber was sagt das aus? Und wie kann ich dadurch daraus schließen, dass Durchschnitt aller jener Unterräume von V, welche {mi | i?I} enthalten in [(mi)i?I] liegen muss? Ist hier xi nur 1 auch für aller anderen Unterräume oder was ist da los?? 3. Sämtliche Vektoren mi liegen in allen Unterräumen U aus S und daher auch in deren Durchschnitt. Da der Durchschnitt ein Unterraum ist, enthält der Durchschnitt auch jede Linearkomb. von (mi)i?I --> [(mi)i?I] ist Teilmenge vom Durchschnitt. Gut, ich glaube, den 3. Punkt verstehe ich dann wieder-der Schluss und die Annahme erscheint mir logisch. Ich hoffe wirklich, dass jemand so nett ist Klarheit in diese Verwirrung zu bringen, denn bisher hat noch niemand geschafft, mir das befriedigend zu erklären... Danke und Lg. |
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| 02.11.2004, 18:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Vektorraum+Hülle hallo Michi, ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine genauen Probleme verstehe, aber ich will dir das ganze mal so gut wie möglich erklären. Du hast recht, Vektoren sind nicht nur diese "anschaulichen Dinger", die einem meistens in der Schule gezeigt wurden.... ich gebe dir hier mal eine kurze und gut verständliche Definition für einen vektorraum aus meinem guten Lineare-Algebra-Skript: ein Vektorraum V über einem Körper K (dieser habe die Verknüpfungen "+" und "*", nicht mit den Vektorraumverknüpfungen verwechseln) ist eine abelsche Gruppe (V,+) zusammen mit einern verknüpfung * : K x V -> V, (a,v) -> a*v [sogenannte Skalarmultiplikation], derart dass die folgenden vier Rechenregeln gelten: für alle a aus K und für alle x, y aus V gilt: a*(x+y) = a*x + a*y für alle a,b aus K und für alle x aus V gilt: (a "+" b) * x = a*x + b*x für alle a,b aus K und für alle x aus V gilt: (a "*" b) * x = a*(b*x) für alle x aus V gilt: 1K * x = x (mit 1K ist das multiplikativ neutrale vom Körper) ich halte diese Definition für sehr verständlich, du musst nur aufpassen, wann die vektorraumverknüpfungen und wann die Körperverknüpfungen gemeint sind.... Die Elemente von v sind dann Vektoren; so kannst du zum Beispiel ohne weiteres nachrechnen, das die rellen zahlen mit normalem + und * bezüglich sich selbst als grundkörper ebenfalls ein vektorraum sind..... So, doch nun fragst du nach der linearen Hülle von einern menge von vektoren, nennen wir diese Menge U...... wie du richtig erkennst ist die lineare Hülle derjenige kleinste Vektorraum, der U enthält. das sind im endeffekt einfach alle Vektoren, die du durch linearkombination (das heißt verknüpfen von Vektoren aus U mit +, skalarmultiplizieren von vektoren mit Elementen aus dem Grundkörper mit *) zusammensetzen kannst. Sei also U = {x1, x2, x3} zum beispiel eine 3-vektorige Menge, Grundkörper K. Dann ist die lineare Hülle (auch das Erzeugnis von U genannt, <U>, [U] ) die Menge aller Vektoren v der Form v = a1*x1 + a2 * x2 + a3 * x3 (a1, a2, a3 aus K). das gilt, wenn |U| = 3; ihr betrachtet einen allgemeinen Fall mit |U| = n, also sind n Vektoren in U enthalten (statt n kann auch unendlich sein). damit ihr diese durchnummerieren könnt wählt ihr eine beliebige Indexmenge I mit n Elementen, also zum beispiel die Menge I = {1, 2, ..., n} und weißt nun jedem Element aus U ein Element aus I zu, also zum Beispiel u1, u2, u3,......., un; und jetzt kannst du die Linearkombinationen schreiben als: a1*u1 + a2* u2 + ..... + an*un, wobei jeweils die a aus K sind. wenn du dann statt der auflistung das summenzeichen nimmst, wird daraus Summenzeichen ai *ui [also nur eine kürzere schreibweise] (1) (über i=1 bis n) das ist nichts anderes als Summenzeichen ai * ui (2) i aus I wie du leicht feststellen wirst, da I = {1,....,n] ist überlege dir an diesem beispiel genau, welche zahlen für i angenommen werden und vergleiche..... wenn die Indexmenge I nicht so schön ist (also nicht 1,2,3,... sondern etwas anderes) ist trotzdem jedem i ein ui zugeordnet. da du den laufbereich von i dann nicht mehrh so schön angeben kannst wie oben bei (1), nimmst du dann halt die Schreibweise (2). deshalb nimmst du also Indexschreibweise.....
es gibt für jeden vektor v aus dem Erzeugnis von U (mindestens) ein Tupel (a1, a2, ....., an) das v= a1*u1 + a2*u2 + .... efüllt, deshalb ist ja v eine Linearkombination aus vektoren von U. Aber die a sind nicht fest, sie können bei jedm vektor variieren! wenn U einen Vektorraum V auf diese Art erzeugt, so nennt man die Menge U ein Erzeugendensystem von V. sind die vektoren zusätzlich linear unabhängig (ich hoffe, du weißt, was das für eine Bedeutung hat), dann nennt man U eine Basis. Ist U eine Basis, so nennt man |U| Dimension von V. sind die Vektoren aus U nicht linear unabhängig, so ist die größtmögliche linear unabhängige Teilmenge von U eine Basis von V. versuche dir klarzumachen, dass du, nachdem du die menge U so verkleinert hast, das sie linear unabhängig geworden ist (aber immer noch möglichst groß ist) immer noch alle vektoren aus v darstellen kannst.... ich mache mal noch ein beispiel dazu, möglichst anschaulich: U = {(1,0,0), (1,1,1), (4,2,2)} V := [U] = [(1,0,0), (1,1,1), (4,2,2)] als Unterraum zum Standardanschauungsraum R³ (das heißt Grundkörper sind die reellen zahlen, die Vektoren sind anschauliche 3-Tupel). du siehst schnell, dass 2*(1,0,0) + 2*(1,1,1) = (4,2,2) gilt, also sind die vektoren von U linear abhängig. entferne (4,2,2) aus der menge U. das liefert uns eine Basis B = {(1,0,0), (1,1,1)} diese beiden vektoren sind nun linear unabhängig (basiseigenschaft) wie oben beschrieben ist aber [U] = [B] = V, denn die basis reicht, um V aufzuspannen. wir nehmen die Indexmenge I = {1,2], nennen (1,0,0) = b1, (1,1,1) = b2, du siehst, ich benutze die Indexmenge nur, um die Vektoren aus B zun bezeichnen. Du kannst nun jeden Vektor v aus V darstellen als: v = a1* b1 + a2 *b2 (a1,a2 sind zugehörige Koeffizienten aus dem Grundkörper R) also z.B. (3,2,2) = 1*b1 + 2*b2 da B basis ist, sind diese koeffizienten eindeutig! da auch U V aufspannt, kannst du (3,2,2) auch aus vektoren aus vektoren U darstellen und zwar als (3,2,2) = 1*b1 + 2*b2, aber auch als (3,2,2) = (4,2,2) + (-1)*b1 also nicht eindeutig....... du kannst also alle vektoren aus v sowohl aus Vektoren von U als auch von B erzeugen, beides sind erzeuigendensysteme, aber U enthält einen vektor mehr, ohne mehr erzeugen zu können [versuche es aus, jeden vektor aus [U] liegt auch im erzweugnis von [B], denn a*(4,2,2)= a* (2*(1,0,0) + 2*(1,1,1)).......) V= {x| x = a*b1 + c*b2 mit a,c aus R} ich hoffe, ich habe dich jetzt mit meinem text nicht allzusehr durcheinandergebracht (ist zum schluss etwas konfus geworden, tut mir leid) und ich konnte dir weiterhelfen..... ansonsten schreibe deine probleme noch mal genauer, dann können wir die sicher in ruhe lösen...... mfg, jochen edit: Fehler korrigiert |
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| 02.11.2004, 20:54 | Michi Böhm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, erstmal danke für deine Mühen...ich verstehe jetzt einiges wesentlich besser!
Ja, ich weiß was das bedeutet, deshalb denke ich aber, dass du dich hier verschrieben hast und und meintest, wenn sie linear unabhängig sind nennt man sie die Basis. Ich denke da zum Bsp. an die kartesische Basis, deren Vektoren sicher linear unabhängig zueinander sind...aber ein kleiner Druckfehler ist ja bei der Menge an Geschriebenem kein Problem ;-).
Heißt das dann, wenn U nun nur aus voneinander linear unabhängigen Vektoren besteht, und U jetzt als eine Familie von Vetoren in V darstelle, also U={u_1,u_2,....u_n) dann gibt mir ja die Indexmenge aufschluss über die Dimension, oder? Wann kann denn die Indexmenge unregelmäßig sein oder warum sollte sie das sein??? Du hast mir insgesamt sehr, sehr geholfen - das einzig was mir noch fehlt ist die Erklärung zu dem Beweis...würdest du das noch probieren??? Danke und lg, michi. |
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| 02.11.2004, 23:06 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, das war natürlich falsch mit dem abhängig.... hab's mal geändert, schön, dass du so aufmerksam liest....
naja, dich hindert niemand daran (besonders bei endlichen Mengen ist das sehr empfehlenswert) deine Indexmenge I= {1,2,...,n} zu wählen, aber du weißt ja: namen sind schall und rauch...... dich wird auch keiner daran hindern deine indizes otto und klaus zu nennen, aber das wird dann halt undurchsichtig.... aber versteife dich da mal gar nicht so sehr drauf, du wirst oft genug später einfach, "sei I beliebige (nichtleere!) Indexmenge und ai irgendetwas für alle i aus I hören", besonders, wenn die Anzahl der ai noch beliebig ist... so jetzt werde ich mich mal des beweises annehmen: sei M:= {mi | i aus I} UM = { U | M c U; U UVRM V} (UVRM heißt Untervektorraum) du sollst jetzt zeigen, dass Erzeugnis M = Schnitt aller U aus UM <M> = Schnitt U U aus UM das der Schnitt von beliebigen UVRMen von V wieder ein Untervektorraum ist, kannst du dir leicht klarmachen: z.B. musst du zeigen, dass die Menge an Vektoren mit + weiterhin eine abelsche Gruppe ist (neutrales element von V ist in allen UVRMen enthalten, also auch im Schnitt; liegt ein Vektor v im Schnitt, dann auch v^-1, da ja jeder dieser Untervektorräume v enthielt und bzgl. + eine abelsche Gruppe war......), wenn die Assoziativität für alle Vektoren aus v gilt, dann insbesondere auch für einen Teil usf. so nun hast du also "links" und "rechts" jeweils eine Menge von Vektoren, du willst zeigen, dass die beiden Mengen gleich sind. du musst also eine doppelte Inklusion zeigen, d.h. du zeigst "links" Teilmenge "rechts" und "rechts" TM "links", soweit klar?! klar! "links" c "rechts" <M> ist ein UVRM von V, und ganz sicher enthält <M> jeden Vektor aus M, und da kommt's jetzt mit dem mi = 1*mi, das soll nur heißen, dass du jeden Vektor aus M linearkombinieren kannst aus Vektoren von M. Und das geht natürlich..... also ist M c <M> UVRM V, und somit <M> in UM enthalten! und wie du sicher weißt oder schnell nachvollziehen kannst gilt bei beliebigen Mengen (A geschnitten B) TM A. also haben wir schon mal das <M> TM vom Schnitt der UM ist. ["linke Seite" TM ""rechte Seite"] "rechte Seite" c "linke Seite" so jetzt fehlt also noch, dass die "rechte Seite" eine TM der "linken Seite" ist: aber auch dieser teil ist einfach (den hast du ja auch verstanden, aber der vollständigkeit halber schreibe ich ihn noch mal auf): da die vektoren mi alle in jedem U aus UM liegen, liegen sie auch im Schnitt, klaro! der Schnitt ist selbst ein Vektorraum, also enthält er jede Linearkombination der mi (aber achtung: für diese richtung des beweises wissen wir noch nicht mehr: er kann evtl. noch weitere enthalten, die sich nicht aus den mi linearkombinieen lassen, das wissen wir noch nicht;, aber es ist natürlich im Endeffekt nicht so, wie wir aus der anderen richtung wissen); damit ist aber <M> = { v | v Linearkombination aus mi, i aus I} eine teilmenge vom Schnitt. also haben wir jetzt <M> c Schnitt der UM, Schnitt der UM c <M> <=> <M> = Schnitt der UM und das war schon der ganze zauber des beweises. so, ich hoffe, damit kannst du was anfangen, und falls wieder fehler drin sind, was zu der späten stunde (und nach einem ätzenden Algebra-Übungsblatt) sicher nicht vermeidbar war, mach mich bitte wieder darauf aufmerksam. und melde dich auch, falls weiterhin uinklarheiten bestehen...... MFG, jochen PS: kann mir irgendjemand erklären, wie ich mit dem Formeleditor Zeichen wie Schnitt oder so mache?! ich habe nur vereinigung gefunden und kenne mich doch mit LaTeX so gar kein bisschen aus... |
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| 03.11.2004, 11:17 | Michi Böhm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
SUPER...Ich habe das jetzt voll verstanden! Ich danke dir echt für deine Mühe, du hast mir sehr, sehr geholfen! |
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| 03.11.2004, 18:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn du's jetzt verstanden hast, war es die Mühe auf jeden Fall wert! jochen |
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