Extremwertaufgabe

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02.11.2004, 17:48

datAnke

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Extremwertaufgabe

hallo, ich hab einen Denk oder Rechnenfehler bekomme immer ne negative Höhe raus Hilfe

ein Körper bestehen aus einem Kegel dadrunter einem Zylinder und zum Abschluss unten noch eine Halbkugel. Die Höhe des Kegels beträgt 4/3 des radius. Das Volumen beträgt 312*PI dm³. gesucht ist die min Oberfäche

für das volumen hab ich
Kegel:
$\begin{eqnarray*} V= \frac{1}{3} \pi r^{2} h \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h= \frac{4}{3} r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V= \frac{4}{9} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$

Zylinder
$\begin{eqnarray*} V = \pi r^{2} h \end{eqnarray*}$

Halbkugel
$\begin{eqnarray*} V = \frac{2}{3} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$

Gesamtvolumen =Kegel + Zylinder + Halbkugel
$\begin{eqnarray*} V=\frac{10}{9} \pi r^{3} + \pi r^{2} h \end{eqnarray*}$

aufgelöst nach h
$\begin{eqnarray*} h=\frac{V}{ \pi r^{2}} - \frac{10}{9} r \end{eqnarray*}$

Oberfläche:
Kegel:
$\begin{eqnarray*} A = \pi r s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^{2} = r^{2} + h^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h= \frac{4}{3} r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} s=\frac{5}{3}r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{5}{3} \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Zylinder
$\begin{eqnarray*} A = 2 \pi r h \end{eqnarray*}$

Halbkugel:
$\begin{eqnarray*} A = 2 \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Gesamtoberfläche
$\begin{eqnarray*} A = \frac{11}{3}\pi r^{2} + 2\pi r h \end{eqnarray*}$

das "h" aus der Volumengleichung einsetzen
$\begin{eqnarray*} A = \frac{7}{9} \pi r^{2} + \frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$

1.Ableitung
$\begin{eqnarray*} f'(r) = \frac{14}{9} \pi r -\frac{2V}{ r^{2} } \end{eqnarray*}$

Nullsetzen um den Extremwert zu finden

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{14}{9} \pi r -\frac{2V}{ r^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{9V}{7 \pi }} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=312\pi \end{eqnarray*}$
da kommt auch noch was "nettes" raus r=7,375

das dann wieder in die h- gleichung vom Anfang
$\begin{eqnarray*} h=\frac{V}{ \pi r^{2}} - \frac{10}{9} r \end{eqnarray*}$
und das wird negativ unglücklich

wo steckt der FEHLER

danke
datAnke

02.11.2004, 17:55

grybl

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RE: Extremwertaufgabe
Fehler liegt ganz oben.

In deiner Angabe:

Zitat:

Die Höhe des Kegels beträgt 3/4 des radius.

und du rechnest $\begin{eqnarray*} h= \frac{4}{3} r \end{eqnarray*}$

smile

02.11.2004, 18:01

datAnke

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RE: Extremwertaufgabe
danke ,aber ich hab mich bei der aufgaben stellung vertippt

$\begin{eqnarray*} h=\frac{4}{3}r \end{eqnarray*}$

danke
datAnke

02.11.2004, 18:07

grybl

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RE: Extremwertaufgabe
dann muss ich weitersuchen Augenzwinkern

Edit: beim Einsetzen von h in A ist mMn der Fehler.

müsste $\begin{eqnarray*} A = \frac{13}{9} \pi r^{2} + \frac{2V}{r} \end{eqnarray*}$

02.11.2004, 18:55

datAnke

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RE: Extremwertaufgabe
DANKE

02.11.2004, 20:44

kikira

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RE: Extremwertaufgabe
HB: O = 2r²pi + 2rhpi + r*[5r/3] pi
O = pi * [ 2r² + 2rh + (5r²)/3 ]
O = pi * [ 11r²/3 + 2rh ]

NB: 312 pi = pi * [ 2r³/3 + r²h + 4 r³/9 ] >> durch pi

312 = 2r³/3 + r²h + 4 r³/9
312 = 10r³/9 + r²h
[ 312 - 10r³/9 ] / r² = h

h = 312/r² - 10r/9

in HB einsetzen:

O (r) = pi * [ 11r²/3 + 2r * [312/r² - 10r/9 ]

O (r) = pi * [ 11r²/3 + 624/r - 20r²/9 ]
O(r) = pi * [ 13r²/9 + 624/r]

dann alle Konstanten weglassen...pi z.b.

f(r) = 13r²/9 + 624 * r^(-1)
f'(r) = 26r/9 - 624/r² = 0
r³ = 216
r = 8

lg kiki

03.11.2004, 13:15

grybl

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RE: Extremwertaufgabe
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{216}=6 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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