Vollständige Induktion

22.03.2007, 16:26

H-Man

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Vollständige Induktion

Aufgabe: Beweis durch vollständige Induktion

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} = \frac{n}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

n=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ --> wahr

Induktionsvoraussetzung:

z.B. n=2

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} = \frac{2}{7} \end{eqnarray*}$ --> wahr

Induktionsschluss:

n=m+1

???

22.03.2007, 16:31

tigerbine

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RE: Vollständige Induktion
Induktionsvoraussetzung:

Sei die Behauptung wahr für wahr für n. es gelte also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} = \frac{n}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Damit mußt Du nun zeigen, dass die Formel auch für (n+1) gilt.

22.03.2007, 16:37

H-Man

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Ja, Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss ich das so umstellen, dass rechts und links das gleiche steht?
Habs schon versucht, aber so richtig...!?

22.03.2007, 16:39

tigerbine

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Und wo sind die ersten Summanden geblieben? verwirrt

verwirrt

22.03.2007, 16:45

H-Man

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Ich hab jetzt das Problem, wieviele davor muss ich denn noch schreiben?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Ich meine, die Punkte könnte ich ja noch ergänzen...!

22.03.2007, 16:49

tigerbine

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Kerle ... Du hast mit der unsauberen Summenschreibweise angefangen. Laut deiner Angabe gilt:

$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} = \frac{n}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Dann ist wohl

$\begin{eqnarray*} S_{n+1} = S_{n} + \frac{1}{(3(n-1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Ob das dann gleich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

ist, musst Du überprüfen.

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22.03.2007, 16:56

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Also so?

22.03.2007, 17:02

tigerbine

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Schon, aber Du musst erst schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{n} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Nach IV:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Daher zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.03.2007, 17:58

H-Man

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} + \frac{1}{(3(n-1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Das muss aber heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Oder?

Also das +...

22.03.2007, 18:08

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)\cdot(3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4)}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4)}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4) +1}{3n+1} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Und nun?

22.03.2007, 18:11

tigerbine

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Zitat:

Original von H-Man

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} + \frac{1}{(3(n-1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Das muss aber heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + ... + \frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Oder?

Also das +...

Meine Brille ist beschlagen. Wo ist da jetzt der Unterschied?

22.03.2007, 18:17

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \end{eqnarray*}$

Vorzeichen

22.03.2007, 18:18

tigerbine

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Freude

Jo.

22.03.2007, 18:20

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)\cdot(3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4)}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4)}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot(3n+4) +1}{3n+1} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Tipp?

22.03.2007, 18:29

tigerbine

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Ok, das VZ hab ich oben mal editiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3(n+1)-2)\cdot(3(n+1)+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3n+3-2)\cdot(3n+3+1)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(3n+1)} + \frac{1}{(3n+1)\cdot(3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n(3n+4)}{(3n+1)\cdot (3n+4)} + \frac{1}{(3n+1)\cdot(3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n(3n+4)+1}{(3n+1)\cdot (3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+4n+1}{(3n+1)\cdot (3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Tipp:

n=-1 ist eine Nullstelle des Linken Zählers

22.03.2007, 18:38

H-Man

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Ja, da könnte ich es ausrechnen...!
Aber was bringt mir das ohne Zahlen? verwirrt

verwirrt

22.03.2007, 18:41

tigerbine

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Was heißt ohne Zahlen? verwirrt

verwirrt

Mach mal Polydivision (die geht hier auf) und dann hast du doch Links oben stehen:

? * (n+1)

Also sind wir schon dicht an (n+1), was der rechte Zähler ist daran, oder?

22.03.2007, 18:43

H-Man

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Aber durch was rechne ich?

22.03.2007, 18:52

tigerbine

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traurig

Na eben:

$\begin{eqnarray*} (3n^2+4n+1) : (n+1) = ? \end{eqnarray*}$

22.03.2007, 18:59

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \frac{3n+1}{(3n+1)\cdot (3n+4)} = \frac{1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n+4} = \frac{1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3n+4} = \frac{1}{3n+4} \end{eqnarray*}$

Aussage bewiesen!

DANKE!

22.03.2007, 18:59

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+4n+1}{(3n+1)\cdot (3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(3n+1)(n+1)}{(3n+1)\cdot (3n+4)} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{3n+4} = \frac{n+1}{3(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist wohl gleich, oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du solltest "besser" nur die Linke Seite so umformen, dass sie gleich der Rechten ist. Denn das "=" soll ja gezeigt werden.

22.03.2007, 19:05

H-Man

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OK, danke! Verstehe...

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