Lineares Gleichungssystem

22.03.2007, 15:43

H-Man

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Lineares Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} - x_{3} = \alpha \end{eqnarray*}$

Für welches Alpha aus den reellen Zahlen gibt es:

a) eine Lösung
b) keine Lösung
c) unendlich viele

Mit Hilfe des Gaußschen Algor.!

Habt Ihr nen Ansatz?

22.03.2007, 16:29

therisen

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Bring das ganze doch mal auf Zeilenstufenform.

22.03.2007, 17:15

H-Man

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$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} - x_{3} = \alpha \end{eqnarray*}$

II-I:

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 + 0 - 3x_{3} = -18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} - x_{3} = \alpha \end{eqnarray*}$

Tja..und dann weiß ich nicht mehr weiter!?

22.03.2007, 18:07

therisen

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Ähm, normalerweise schreibt man die Koeffizienten in eine entsprechende Matrix und führt dann den Gaußschen Algorithmus durch und zwar solange, bis man seine Zeilenstufenform gegeben hat.

22.03.2007, 18:15

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun?

22.03.2007, 18:54

therisen

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Ich meine sowas wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 18 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & \alpha \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 18 \\ 0 & 0 & -3 & -18 \\ 0 & 0 & -2 & \alpha-18 \end{pmatrix} \cong \dots \end{eqnarray*}$

In der Aufgabenstellung steht doch, dass du es so (oder so ähnlich) machen sollst.

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25.03.2007, 12:45

FLO_HAL

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Gut, dann habe ich die Dreiecksform als allgemeine Lösung. Wie muss ich dann weiter machen?

Habe ja dann das Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_3 = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_3 = \alpha -18 \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} x_3 = -6 \end{eqnarray*}$

Und weiter? Mir fehlt der Ansatz für das $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

25.03.2007, 16:33

WebFritzi

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Darum geht es erstmal nicht. Schau dir die dritte Gleichung an, um zu sehen, wann das LGS ÜBERHAUPT eine Lösung besitzt.

25.03.2007, 16:43

FLO_HAL

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Also für $\begin{eqnarray*} \alpha = 18 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann unendlich viele Lösungen, ansonsten genau eine!?

25.03.2007, 16:46

WebFritzi

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Das ist doch Blödsinn! Du hast doch schon x3. Die dritte Gleichung kannst du jetzt nach alpha auflösen. Was kommt raus?

25.03.2007, 16:48

FLO_HAL

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$\begin{eqnarray*} \alpha = -2x_3 + 18 \end{eqnarray*}$

25.03.2007, 17:15

WebFritzi

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Ja, nochmal: x3 ist gleich??? Das hattest du schon geschrieben.

25.03.2007, 17:22

FLO_HAL

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Wenn ich die -6 aus II einsetze, bekomme ich alpha = 30

25.03.2007, 17:27

Monstar

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ja und für alpha ungleich 30 hast du einen widerspruch

25.03.2007, 17:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Monstar
ja und für alpha ungleich 30 hast du einen widerspruch

Wozu? Nein, das LGS hat dann einfach keine Lösung.

25.03.2007, 17:51

FLO_HAL

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Also habe ich a) 'genau eine Lösung' oder b) 'keine Lösung' für das LGS. Ein Fall c) 'unendlich viele Lösungen' exisitiert hier nicht.

25.03.2007, 18:01

WebFritzi

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Doch. Denk mal drüber nach. Was wäre denn die eindeutige Lösung im Falle alpha = 30?

25.03.2007, 18:22

H-Man

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Zitat:

Original von FLO_HAL
Wenn ich die -6 aus II einsetze, bekomme ich alpha = 30

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ist + 6, nicht MINUS 6...

25.03.2007, 18:26

FLO_HAL

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist alpha = 6

25.03.2007, 18:29

H-Man

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Ganz genau!

Und was bedeutet das für uns?

25.03.2007, 18:31

FLO_HAL

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$\begin{eqnarray*} \alpha = x_3 \end{eqnarray*}$

25.03.2007, 18:32

H-Man

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$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann b), also keine Lösung!

$\begin{eqnarray*} \alpha = 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann a), also eine eindeutige Lösung!

Oder?

Und für alles andere hab ich unendlich viele??

25.03.2007, 19:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann b), also keine Lösung!

Ja.

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \alpha = 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann a), also eine eindeutige Lösung!

Und wie lautet die?

Zitat:

Original von H-Man
Und für alles andere hab ich unendlich viele??

Alles andere? Was denn noch?

25.03.2007, 19:22

H-Man

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann b), also keine Lösung!

Ja.

Juhu! ;-)

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \alpha = 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann a), also eine eindeutige Lösung!

Und wie lautet die?

Tja, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ müssen zusammen irgendwie 12 ergeben?

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von H-Man
Und für alles andere hab ich unendlich viele??

Alles andere? Was denn noch?

Stimmt!

Also unendlich gibts nicht!?

25.03.2007, 22:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von H-Man

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \alpha = 6 \end{eqnarray*}$ wäre dann a), also eine eindeutige Lösung!

Und wie lautet die?

Tja, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ müssen zusammen irgendwie 12 ergeben?

x1=x2=6 und x1=4, x2=8. Huch, das sind ja schon 2 Lösungen...

25.03.2007, 22:09

H-Man

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Also eindeutig gibts nicht ... :-)

25.03.2007, 22:12

WebFritzi

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Ach ne...

25.03.2007, 22:14

H-Man

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Danke!

25.03.2007, 22:32

H-Man

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Nun ist noch die Frage:

Welche Aussagen können Sie über die Ränge von Koeffizientenmatirx A und erweiterter Koeffiz. ( $\begin{eqnarray*} A,\vec{b} \end{eqnarray*}$ ) treffen?

Rang 3??

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