Lösungsmenge Ungleichung

22.03.2007, 18:22

H-Man

Lösungsmenge Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{x-1} \geq \frac{1}{2}x-1 \end{eqnarray*}$

Hier soll ich die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen!

Wie setze ich da an?

22.03.2007, 18:28

MrPSI

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Zuallerst wird mal bei solchen Aufgaben die Definitionsmenge bestimmt. Danach ist das eine reine Umformungsgeschichte, d.h. mit Hauptnenner multiplizieren, etc. Aber hier ist es ein wenig tricky, denn es kommt ein Quadrat vor. Tipp: quadratisch ergänzen und nach x umformen.

22.03.2007, 18:36

H-Man

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Definitionsmenge:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R, x \leq 3, x \neq 1 \end{eqnarray*}$

Müsste ja so stimmen!?

Was meinst du mit "es kommt ein Quadrat vor"?

22.03.2007, 18:45

MrPSI

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Mit "es kommt ein Quadrat vor" meine ich, dass es einen quadratischen Term $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ vorkommt, wenn du mit dem Hauptnenner multiplizierst.

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x \leq 3 \end{eqnarray*}$ ?

22.03.2007, 18:49

H-Man

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Achso, OK!

Na wenn man 3 einsetzt, dann stimmt die Funktion noch! Sobald es größer 3 ist, stimmt es nicht mehr!?

22.03.2007, 18:54

MrPSI

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Wie ist es mit x=-1?! Die x-Werte, für die die Ungleichung gilt, solltest du ja eben berechnen und nicht erraten!

22.03.2007, 19:08

H-Man

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OK, hast Recht!

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{x-1} \geq \frac{1}{2}x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 \geq (\frac{x}{2}-1) \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 \geq \frac{x^2}{2}-x-\frac{x}{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 \geq \frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}x+1 \end{eqnarray*}$

Und nun?

22.03.2007, 19:19

MrPSI

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Das (x-2) auf die rechte Seite bringen und mit 2 multiplizieren. Danach wird eben ein Trick angewandt um diese Ungleichung zu lösen: quadratische ergänzen. So wie man es auch von der Herleitung der kleinen Lösungsformel her kennt.

22.03.2007, 19:29

H-Man

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$\begin{eqnarray*} 0 \geq \frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}x+1-x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \geq \frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \geq x^2-5x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} -6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Und nun?

22.03.2007, 19:53

MrPSI

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Da ist noch ein kleiner Schönheitsfehler: du kannst nicht einfach aus einem Ungleichheitszeichen ein Gleichheitszeichen machen.
Also lautet es richtig:

$\begin{eqnarray*} x_1 \leq \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \geq \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das kommt daher, weil man hier nicht einfach die kleine Lösungsformel verwenden darf, sondern wirklich per Hand quadratische ergänzen muss und dann beim Wurzelziehen verschiedene Fälle beachten muss.

Aber die Ungleichung wird komplizierter, als ich gedacht habe. Wir haben bisher nur den Fall $\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$ behandelt, aber den Fall $\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$ ausgelassen. Wenn man den zweiten Fall behandelt, dann dreht sich beim Multiplizieren mit dem Nenner das Ungleichheitszeichen um. Also muss der zweite Fall separat behandelt werden.

25.03.2007, 20:52

H-Man

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Also haben wir für $\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$ das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ !

Aber wieso dreht sich das Zeichen um, wenn ich vom Fall $\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$ ausgehe?

25.03.2007, 21:11

MrPSI

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Wenn der Nenner negativ $\begin{eqnarray*} (x-1<0) \end{eqnarray*}$ ist, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen, um wenn du die Ungleichung mit dem Nenner multiplizierst.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 5 > 3 \end{eqnarray*}$
Nun wird das mit (-1) multipliziert. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} -5 < -3 \end{eqnarray*}$

Du siehst also, wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

25.03.2007, 21:15

H-Man

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OK, danke...!
Aber was hat das für Folgen auf meine Rechnung?

Steht doch dann auch nur da:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 2 \end{eqnarray*}$

(mit Schönheitsfehler) ;-)

Aber an der Rechnung ändert sich doch nix...??

25.03.2007, 21:23

therisen

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Verschoben (Das ist Schulstoff)

25.03.2007, 21:29

MrPSI

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Das Ergebnis fällt ein wenig anders aus.

Bei $\begin{eqnarray*} x-1>0 : \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} x-1<0 : \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq 2 \ \text{oder} \ x \geq 3 \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass sich dann auch am Ende die Ungleichheitszeichen umdrehen.
Beim 2. Fall müssen die gesuchten x-Werte die Bedingung $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ und eine der beiden Bedingungen $\begin{eqnarray*} x \leq 2 \ \text{oder} \ x \geq 3 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Und das tun nur alle x<1.

Damit hast du dann alle Lösungen gefunden.

25.03.2007, 21:39

H-Man

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OK, danke, verstehe!

Nur eine Kleinigkeit noch:

Zitat:

Beim 2. Fall müssen die gesuchten x-Werte die Bedingung $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ und eine der beiden Bedingungen $\begin{eqnarray*} x \leq 2 \ \text{oder} \ x \geq 3 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Und das tun nur alle x<1.

Also fällt hierbei die Lösung $\begin{eqnarray*} \ x \geq 3 \end{eqnarray*}$ weg, da die Bedingung $\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr funktionieren würde!

Die Lösung ist dann aber wirklich x<1 und nicht $\begin{eqnarray*} x \leq 2 \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2007, 21:42

MrPSI

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Die x-Werte müssen ja sowohl x<1 als auch $\begin{eqnarray*} x\leq 2 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Und das tun eben nur alle x<1. x=1,5 erfüllt bspw. nur eine der beiden Bedingungen.

25.03.2007, 21:48

H-Man

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Genau, zählt aber trotzdem zur Lösungsmenge...!

OK, ich danke dir! Gott

25.03.2007, 21:51

MrPSI

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Zitat:

Original von H-Man
Genau, zählt aber trotzdem zur Lösungsmenge...!

Nein, x=1.5 zählt nicht zur Lösungsmenge. unglücklich

Hier greift auch ein Argument, das du schon erwähnt hast. Denn alle x im Bereich $\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$ erfüllen die Ungleichung x-1<0 nicht. Also raus aus der Lösungsmenge mit solchen x. Nur x<1 zählen im Fall x-1<0 !

25.03.2007, 21:57

H-Man

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Sorry, ich meinte -1,5 ...habe mich bei dir oben verschaut!
Ich dachte du hast - geschrieben...

25.03.2007, 21:59

MrPSI

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Aso, ein kleiner Ausrutscher Augenzwinkern

Na dann machts ja nichts. Da ja anscheinend alle Fragen geklärt sind, wünsche ich dir noch einen schönen Abend.

25.03.2007, 22:00

H-Man

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Ebenso...dankeschön!

25.03.2007, 22:14

Leopold

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Eine kleine Variante. Man könnte die Ungleichung zunächst auf die Form $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ bringen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{x-1} - \frac{1}{2} \, x + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachtet man die Hilfsfunktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x-2}{x-1} - \frac{1}{2} \, x + 1 = \frac{-x^2 + 5x - 6}{2(x-1)} = \frac{-(x-2)(x-3)}{2(x-1)} \end{eqnarray*}$

mit maximalem Definitionsbereich. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, sind die Vorzeichenbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ allein durch die Polstellen und Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmt (Zwischenwertsatz):

$\begin{eqnarray*} - \infty \leftrightarrow 1 \leftrightarrow 2 \leftrightarrow 3 \leftrightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt muß man aus jedem Teilintervall lediglich einen einzigen Wert berechnen, um das Vorzeichen für das ganze Intervall zu bekommen.

25.03.2007, 22:16

H-Man

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Ich glaube das andere kann ich momentan leichter nachvollziehen! ;-)

26.03.2007, 12:49

MrPSI

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Hey Leopold,
das ist wirklich eine sehr elegante Lösung Freude

.
Hätt viel Rechnerei erspart. Cooler Tip, werd ich mir merken. smile

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Lösungsmenge Ungleichung

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