Operationen und Abbildungen

02.11.2004, 20:01	IKE	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationen und Abbildungen Hallo, ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, ich weiß nämlich nicht so recht was ich dazu machen soll, aber zunächst erstmal die Aufgabe: Für a,b Elemente aus I:=]-1,1[:={x Element aus R\| -1<x<1} sei ab:= (a+b)/(1+ab) Als erstes sol ich dazu nun zeigen, das eine Operation auf I, also eine Abbildung von IxI nach I ist. Außerdem soll ich noch zeigen das (I,*) eine kommutative Gruppe ist. Nun meine Frage dazu, wie kann ich da am besten rangehen bzw. vorgehen, ich sitze hier nun schon ein paar sehr lange Stunden und überlege, doch leider ist mir bis jetzt nicht viel dazu eingefallen, für einige Tipps wäre ich sehr dankbar. mfg IKE
02.11.2004, 20:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine hübsche Aufgabe, die gefällt mir. Um zu zeigen, daß $\begin{eqnarray} a \star b \in I \end{eqnarray}$ gilt, mußt du die beiden Ungleichungen $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{1+ab}>-1 \, , \ \frac{a+b}{1+ab}<1 \end{eqnarray}$ nachweisen. Beachte, daß wegen $\begin{eqnarray} a,b \in I \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} 1+ab>0 \end{eqnarray}$ gilt, so daß du die Ungleichungen ohne Gefahr mit dem Nenner durchmultiplizieren und somit äquivalent (!!) umformen kannst, bis du eine Ungleichung erhältst, die offensichtlich wahr ist. (Bringe die Ungleichungen auf die Gestalt $\begin{eqnarray} ...>0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} ...<0 \end{eqnarray}$ und schreibe die linke Seite als Produkt - ein bißchen probieren, dann sieht man es.) Das neutrale Element ist das, was naheliegt. Auch beim Inversen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist es so. Die Kommutativität ist offensichtlich, da $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ in der Definition von $\begin{eqnarray} \star \end{eqnarray}$ symmetrisch vorkommen. Die Assoziativität $\begin{eqnarray} (a \star b) \star c = a \star (b \star c) \end{eqnarray}$ weist du am besten dadurch nach, daß du die linke Seite gemäß Definition umformst, bis du einen in $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ symmetrischen Ausdruck (eine kleine Übung zum Rechnen mit Brüchen und Doppelbrüchen) erhältst. Dann muß sich auch die rechte Seite in einen solchen überführen lassen.
03.11.2004, 13:54	IKE	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal vielen dank für die tips, sie haben mich doch schon ein ganzes stück näher an die lösung heran gebracht, nun denke ich bin ich auf dem richtigen weg. mfg

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