Wolf wills wissen - sind meine Ansätze brauchbar?

22.03.2007, 19:58

Wolf84

Wolf wills wissen - sind meine Ansätze brauchbar?

Guten tag erstmal, ich bin Wolf, 23 Jahre und Soldat.. nur mal so kurz.. und werde demnächst öfter schreiben, denn ich habe ein Studium an der FernUni in Hagen begonnen (Informatik und NF Mathematik).. Hier möchte ich meine ersten Aufgaben prüfen lassen und mir eure wertvollen Tipps nicht entgehen lassen, denn ich bin jetzt bald vier Jahre aus dem schulischen Lernen raus..

Meine erste Aufgabe aus den Einsendeaufgaben (Mathematik für Informatiker II, KE I )

Zitat:

E1.1 a) Gegeben seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ das geometrische bzw. das arithmetische Mittel von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , wobei wir im Fall des geometrischen Mittels zusätzlich $\begin{eqnarray*} x,y > 0 \end{eqnarray*}$ fordern.
Zeigen Sie (unter Angabe aller verwendeten Rechenregeln aus dem Kurs), dass in beiden Fällen gilt $\begin{eqnarray*} x < z < y \end{eqnarray*}$ . (5 Pt)

Ich stelle zunächst fest:

* Nachbesserung auf Kommentare von Usern hier

$\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ *

(1) Arithmetisches Mittel: $\begin{eqnarray*} z= \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$

(2) Geometrisches Mittel: $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x \cdot y} \end{eqnarray*}$

Und versuche zu beweisen:

für (1)
$\begin{eqnarray*} x < y \Leftrightarrow c \cdot x < c \cdot y \Leftrightarrow \frac{x}{2} < \frac{y}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > 0, x < y \Leftrightarrow x > \frac{x}{2}, x < 0 \Leftrightarrow x < \frac{x}{2}, x = 0 \Leftrightarrow 0 = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ *Hinweis v. WebFritzi (analog für y)

$\begin{eqnarray*} z= \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \Leftrightarrow z > \frac{y}{2} > \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ (werde ich heute nachmittag nochmal auf Fallunterscheidung prüfen)

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} < \frac{y}{2} \Leftrightarrow x < \frac{x}{2} + \frac{y}{2} < y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < z < y \end{eqnarray*}$

q.e.d.

für (2)

$\begin{eqnarray*} 0 < x < y \Leftrightarrow x,y,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ *also keine Fallunterscheidung für Wurzeln aus negativem Produkt nötig.

$\begin{eqnarray*} x < y \Leftrightarrow x^{c} < y^{c} \Leftrightarrow \sqrt{x} < \sqrt{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq 1 \Leftrightarrow x > \sqrt{x}, x < 1 \Leftrightarrow x < \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
**Hinweis v. Leibowitz, dennoch bleibt jede Wurzel von x kleiner als die von y

(analog für y)

$\begin{eqnarray*} z= \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \Leftrightarrow z > \sqrt{y} > \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} < \sqrt{y} \Leftrightarrow x < \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} < y \end{eqnarray*}$ *

$\begin{eqnarray*} x < z < y \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Nun glaube ich zumindest die Aufgabe hinreichend absolviert zu haben - bin mir aber keineswegs sicher - auch weil ich nur nicht die ganze KE durchgearbeitet habe.

..euch bitte ich mir zu sagen was ich evtl. falsch mache.. und natürlich was man besser machen kann.. bzw. den ein oder andren Tipp in die richtige Richtung.

22.03.2007, 20:12

Leibowitz

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also im ersten Beweis kann ich keinen Fehler finden, außer daß für die Konstante c die Annahme c>0 gelten muss (was für 1/2 ja kein problem ist.)

Beim zweiten Beweis fehlen mir die Fallunterscheidungen für x,y < 1 (dann gilt nicht mehr x>Wurzel(x))
Auch muss hier c > 0 angenommen werden.
In der vorletzten Zeile ist dir ein Schreibfehler unterlaufen, da müsste statt der Addition eine Multiplikation stehen.

Der Ansatz an sich erscheint mir aber richtig...

Ich hoffe, das hilft dir weiter smile

23.03.2007, 04:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leibowitz
also im ersten Beweis kann ich keinen Fehler finden

Im Gegensatz zu mir. Ich sehe da irgendwie kaum was richtiges. Allein schon x > x/2 gilt nur für x > 0, was nicht gefordert war.

23.03.2007, 06:56

Wolf84

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mh.. also müsste ich bei (1) eine fallunterscheidung machen.. verdammt guter hinweis .. ich glaub ich hätte noch im nächsten jahrhundert geglaubt das es stimmt Big Laugh

aber wenn du kaum was richtiges siehst krieg ich grad n bisl angst *grübelt*

23.03.2007, 08:26

klarsoweit

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Ich glaube, du behandelst die Dinge komplizierter, als sie sind.

zu 1: x < y <==> x + x < x + y
Jetzt durch 2 dividieren und der erste Teil ist fertig. Augenzwinkern

Analog zeigst du den 2. Teil der Ungleichung.

zu 2: $\begin{eqnarray*} x < y \Rightarrow \sqrt{x} < \sqrt{y} \Rightarrow \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} < \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und die Behauptung folgt.
Wiederum analog der 2. Teil der Ungleichung.

23.03.2007, 12:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt durch 2 dividieren und der erste Teil ist fertig. Augenzwinkern

Das bedeutet für dich, Wolf: Mit c = 1/2 multiplizieren. Dann kannst du deine Regel anwenden.

24.03.2007, 12:49

Abakus

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RE: Wolf wills wissen - sind meine Ansätze brauchbar?

Zitat:

Original von Wolf84

Zitat:

Unabhängig von den math. Rechnungen einige Bemerkungen zur Form:

- Du hängst einfach unzusammenhängende Zeilen hintereinander. D.h. der geneigte Leser kann raten, wie das zusammenhängen soll. Verwende doch bitte Folgepfeile, Äquivalenzpfeile, und erläuternden Text (der den Beweisgang dann erklärt und Begründungen liefert).

- Da das arithmetische und geometrische Mittel i.A. verschieden sind, ist es falsch, wenn du beide mit z bezeichnest. Das c > 0 ist im Beweis eigentlich überflüssig.

- Wie es prägnanter geht, hat klarsoweit schon dargestellt.

Grüße Abakus smile

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