Optimierungsaufgabe

22.03.2007, 20:15

die_Hoffnungslose

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Optimierungsaufgabe

Hallo.
ich weiß nicht ob ich richtig hier bin und das mit dem formeleditor richtig gemacht habe, aber ich bin sehr verzweifelt mit folgender aufgabe:

Eine Fabrik stellt Blechgefäße her, welche die Gestalt eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel haben.
Das Volumen des Gefäßes beträgt 15 VE (Volumeneinheiten).

a, begründen sie rechnerisch, dass für die Oberfläche des Gefäßes gilt:

$\begin{eqnarray*} O(r)= \frac{5}{3} r^{2} \pi +30\cdot \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie die Definitionsmenge (kann ich selber).

b, berechnen sie denjenigen Radius, für den der Materialverbrauch für diese Gefäße seinen absolut kleinsten WErt annimmt. Weisen Sie die Art des Extremums ohne Verwendung der 2. Ableitung der funktion O(r) nach.

Also gut, ich hab also die Formel für das Volumen des Gefäßes:

$\begin{eqnarray*} 15=r^{2} \pi h+\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} r^{3} \pi \end{eqnarray*}$
Stimmt das?
und die Formel für die Oberfläche des Gefäßes (da muss ich ja eine kreisfläche zweimal abziehen, eine von der halbkugel und eine vom zylinder?):

$\begin{eqnarray*} O(r)= (2r\cdot \pi (r+h)-2(?)r^{2}\pi )+(4r^{2} \pi ):2 \end{eqnarray*}$
Bitte nachfragen falls was unverständlich ist!!

Ok, ich würde jetzt bei der Volumenformel das r ausrechnen. und das r dann in O(r) einsetzen. Logischerweise(?). Aber da weiß ich auch nicht wie das geht.

Bei aufgabe b muss ich ja auf ein Extrema zu kommen O(r) ableiten. Das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} O(r)'= \frac{10}{3}r\pi +30 \end{eqnarray*}$

Es wär echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!! ich soll das am montag haben. da gibts ne note drauf. und ich rechne (probiere aus) jetzt schon seit tagen.
Ihr seit meine letzte chance!!!!

22.03.2007, 20:29

MrPSI

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N'Abend.

Zu a) Nein, du musst nicht zweimal eine Kreisfläche bei der Oberfläche abziehen. Das Blechgefäss besteht aus einer Halbkugelschale, einer Zylindermantelfläche und Zylindergrundfläche. Einfach alles zusammenaddieren. Und wieso willst du bei der Volumsformel das r ausrechnen und in O(r,h) einsetzen? Damit eliminierst du das r ja und es bleibt nur noch das h übrig, obwohl nur noch das r in der Oberflächenformel vorhanden sein sollte! Tipp: rechne lieber das h aus und setze es in die Oberflächenformel ein.

Zu b) Richtig.

23.03.2007, 16:55

die_Hoffnungslose

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Vielen Dank!!

Also gut, wenn ich dann das h von der Volumenformel ausrechnen muss, dann steht da doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{h}=r^{2} \pi +\frac{2}{3} r^{3} \pi \end{eqnarray*}$

aber das ist doch falsch!! wie krieg ich dann das h aus dem bruch?

Meinst du mit Zylindergrundfläche, die Formel für eine Kreisfläche?
Wenn ja müsste
die richtige(?) Oberflächenformel lauten:

$\begin{eqnarray*} O(r)=\frac{1}{2} (4r^{2} \pi )+(2r\pi h)+(r^{2} \pi ) \end{eqnarray*}$

Ok, und bei b muss ich ja dann die Nullstellen ausrechnen. eigentlich müsste ich doch da nur das eine r ausrechnen, oder?
Aber dann kommt so ne zahl wie -2,86478...

Das kann nicht sein. könntest du mir den weg zeigen, wie ich das r rauskriege?

23.03.2007, 17:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} O(r)'= \frac{10}{3}r\pi +30 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist falsch.

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} \frac{15}{h}=r^{2} \pi +\frac{2}{3} r^{3} \pi \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist falsch. Du hast nur den 1. Summanden durch h dividiert, aber nicht den 2. Die Division durch h ist aber eh sinnlos. bringe erstmal alle Terme, die kein h haben, auf eine Seite.

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} O(r)=\frac{1}{2} (4r^{2} \pi )+(2r\pi h)+(r^{2} \pi ) \end{eqnarray*}$

Die Formel ist ausnahmsweise richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2007, 10:56

die_Hoffnungslose

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Danke

wie leite ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ ab??

Gut, ich bring alle terme ohne h auf eine seite, heißt:

$\begin{eqnarray*} 15-(\frac{2}{3} r^{3} \pi)=r^{2} \pi h \end{eqnarray*}$

und dann?? das komplette durch r^2 und pi dividieren??? kann ich das dann wegkürzen? also in meinem kopf sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} 15-(\frac{2}{3} r^{3} \pi) : r^{2} \pi \end{eqnarray*}$

Ich brech wahrscheinlich soeben alle mathematischen Regeln der Welt, aber in meiner Vorstellung sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3}r=h \end{eqnarray*}$

setz ich dann h in V(r) ein?
kann ich dasselbe h auch in O(r) einsetzen?

Hilfe!!! traurig

traurig

24.03.2007, 11:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
wie leite ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ ab??

Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} = r^{-1} \end{eqnarray*}$ und wende die bekannten Regeln an.

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
und dann?? das komplette durch r^2 und pi dividieren???

Ja. Und weil du das komplette durch r^2 und pi dividierst, sieht das dann so aus:
$\begin{eqnarray*} (15-(\frac{2}{3} r^3 \pi)) : r^2 \pi = h \end{eqnarray*}$
oder

$\begin{eqnarray*} \frac{15-\frac{2}{3} r^3 \pi}{r^2 \pi} = h \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
Ich brech wahrscheinlich soeben alle mathematischen Regeln der Welt, aber in meiner Vorstellung sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3}r=h \end{eqnarray*}$

In der Tat. Siehe oben.

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
setz ich dann h in V(r) ein?

Nee. Das h stammt ja gerade aus der Volumenformel.

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
kann ich dasselbe h auch in O(r) einsetzen?

Du kannst nicht nur, du mußt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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24.03.2007, 14:17

die_Hoffnungslose

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DDDDAAAAAAAAAAANNNNNNNNNKEEEEEEEEEE!!!!

Also Ableitung ist dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{10}{3}r \pi -30r \end{eqnarray*}$
oder?

Gut, also darf ich das r^2 und das pi nicht wegkürzen, oder?
wenn nein,
dann setz ich also komplett den bruch ein
dann steht da:

$\begin{eqnarray*} O(r)=\frac{1}{2}(4 r^{2} \pi )+(2r\pi \cdot (15-\frac{2}{3} r^{3} \pi :r^{2} \pi )+( r^{2} \pi ) \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich ja das r ausrechnen, oder? wie mach ich das?
Das ist ja ein hammergroßer term. Wie kann ich den vereinfachen?
ist das falsch, wenn ich zum vereinfachen pi ausklammere? Also, dass dann da steht:

$\begin{eqnarray*} O(r)=\pi( \frac{1}{2}4 r^{2}+(2r\cdot (15-\frac{2}{3} r^{3} \pi :r^{2} \pi )+r^{2} \end{eqnarray*}$

ich hätte dann das $\begin{eqnarray*} 2r^{2} \end{eqnarray*}$ , das vor der klammer steht mit dem $\begin{eqnarray*} r^{2} \end{eqnarray*}$ , das hinter der klammer steht addiert.

Dann hätte ich in der klammer folgendes gemacht, wenn das überhaupt mathematisch erlaubt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{30r+ \frac{4}{3}r^{4} \pi }{2r^{3} \pi } \end{eqnarray*}$

Nach meiner Vereinfachungstheorie steht zum Schluss dann da:

$\begin{eqnarray*} \pi (4r^{4} ( \frac{30r+ \frac{4}{3}r^{4} \pi }{2r^{3} \pi })) \end{eqnarray*}$

Aber das kann ja nicht stimmen, weil ja in der Aufgabenstellung steht, dass

$\begin{eqnarray*} O(r)=\frac{5}{3} r^{2} \pi +30\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

sein soll.

ich hoffe ihr verzweifelt nicht mit mir!!

24.03.2007, 14:48

die_Hoffnungslose

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HALT!! hab grad einen fehler entdeckt:

Die Ableitung lautet:
$\begin{eqnarray*} O'(r)=\frac{10}{3}r \pi -30\cdot r^{-2} \end{eqnarray*}$
aber wie bekomme ich das -2 weg?

24.03.2007, 15:05

rockybalboa123

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose

aber wie bekomme ich das -2 weg?

stichwort: potenz(gesetze):

beispiel: $\begin{eqnarray*} x^{-3} =\frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$

24.03.2007, 15:06

klarsoweit

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Heidienei, machst du es kompliziert. Wir haben:

$\begin{eqnarray*} O(r) = 2r^2 \pi + 2r\pi h + r^2 \pi = 3r^2 \pi + 2r\pi \cdot \frac{15-\frac 2 3 r^3 \pi}{r^2\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3r^2 \pi + 2 \cdot \frac{15-\frac 2 3 r^3 \pi}{r} = 3r^2 \pi + \frac{30}{r} - \frac{\frac 4 3 r^3 \pi}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3r^2 \pi + \frac{30}{r} - \frac 4 3 r^2 \pi \end{eqnarray*}$

Noch etwas zusammenfassen und du hast dein O(r).
Die Ableitung O'(r) mußt du gleich Null setzen, um mögliche Extremstellen zu ermitteln.

24.03.2007, 17:00

die_Hoffnungslose

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Wow, krass. Wie einfach!! DANKE! Eigentlich logisch. warum bin ich da nicht selber drauf gekommen?? naja, weiter im text:

O'(r) = 0

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{10}{30} \pi -\frac{30}{ r^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{10}{30} \pi r^{2} -30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30=\frac{10}{30} \pi r^{2} \end{eqnarray*}$

das dann durch 10/30 und durch pi, oder?
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{90}{\pi }= r^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{90}{ \pi }}=r \end{eqnarray*}$

da kommt sowas wie: 5,35 raus. kann das sein?

Als nächstes muss ich doch die Grenzwerte ausrechnen.
Das mach ich mit den werten der definitionsmenge. Ist meine Definitionsmenge ]0;15]?

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 15} O(r)=1180,097 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O(5,35)=155,47 \end{eqnarray*}$

24.03.2007, 19:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{10}{30} \pi -\frac{30}{ r^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{10}{30} \pi r^{2} -30 \end{eqnarray*}$

Die 1. Gleichung stimmt noch, aber wie kommst du dann auf die 2. ?

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r) = 0 \end{eqnarray*}$

Das würde bedeuten, daß du bei r=0 die kleinste Oberfläche hast. Schau nochmal auf deine Oberflächenformel. Wohin geht denn 30/r, wenn r gegen Null geht?

25.03.2007, 13:39

die_Hoffnungslose

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gut, moment, muss selber erst nochmal überlegen wie ich da draufgekommen bin...

moment, irgendwas stimmt doch da nicht:
wie komm ich auf 10/30?? heißt das nicht 10/3 ???

Also nochmal von vorn:
$\begin{eqnarray*} O'(r)=\frac{10}{3}r \pi -\frac{30}{ r^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O'(r)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{10}{3}r \pi -\frac{30}{ r^{2}} |\cdot r^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{10}{3}r^{3} \pi -30 |+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30=\frac{10}{3}r^{3} \pi |:\pi |:\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{ \pi \cdot \frac{10}{3}} =r^{3} \end{eqnarray*}$

und wenn man das ausrechnet kommt 2,865 raus.

Zu den Grenzwerten:
keine ahnung, wie ich das jetzt machen soll!!
stimmt die Definitionsmenge nicht?

25.03.2007, 14:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} \frac{30}{ \pi \cdot \frac{10}{3}} =r^{3} \end{eqnarray*}$

Man kann das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{\pi} =r^{3} \end{eqnarray*}$
Die 2,865 ist der Wert für r³. Du brauchst aber das r.

Und nun der Reihe nach. Erstmal mußt du zeigen, daß bei r=.... ein Minimum ist. Dazu kann man sich überlegen, daß O'(r) eine monoton steigende Funktion ist. Sie ist also rechts von deiner Nullstelle positiv und links davon negativ.

25.03.2007, 17:38

die_Hoffnungslose

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Ja genau.

Stimmt das schon, wie ich das mit den Gleichungen gemacht habe??

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ \frac{9}{ \pi }}= 1.42 \end{eqnarray*}$

also r=1,42

oder?

Zitat:

Und nun der Reihe nach. Erstmal mußt du zeigen, daß bei r=.... ein Minimum ist. Dazu kann man sich überlegen, daß O'(r) eine monoton steigende Funktion ist. Sie ist also rechts von deiner Nullstelle positiv und links davon negativ.

Was?

verwirrt

Ich brauch auf jeden Fall einen größen wert. weil 30/r wär ja dann 30/0 und das geht ja nicht.

ich hab keine ahnung, wie ich das rauskriege.

25.03.2007, 17:44

klarsoweit

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Nochmal:
Was ist zu tun?
Als erstes mußt du zeigen, daß an der gefundenen Nullstelle von O'(r) tatsächlich ein (lokales) Minimum ist.

Als zweites mußt du die Ränder untersuchen. Da O(r) an der Stelle r=0 nicht definiert ist, brauchst du da den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0}~O(r) \end{eqnarray*}$ .

25.03.2007, 19:23

die_Hoffnungslose

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Also setz ich r in O' ??
Setzt man nicht die ausgerechneten Nullstellen in die normale Funktion ein?

$\begin{eqnarray*} O'(1,42)=\frac{10}{3} \cdot 1,42\cdot \pi -\frac{30}{ 1,42^{2}}=-0,0077 \end{eqnarray*}$
-->ist nicht in der Def-menge.

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 15} O(r)=1180,097 \end{eqnarray*}$

Ohmann, ich checks nicht.
Muss ich nicht die Randwerte in O(r) einsetzen? aber das geht ja nicht mit 0! was muss ich denn dann wo einsetzen?

25.03.2007, 19:51

MrPSI

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
Also setz ich r in O' ??
Setzt man nicht die ausgerechneten Nullstellen in die normale Funktion ein?

$\begin{eqnarray*} O'(1,42)=\frac{10}{3} \cdot 1,42\cdot \pi -\frac{30}{ 1,42^{2}}=-0,0077 \end{eqnarray*}$
-->ist nicht in der Def-menge.

Du setzt die ausgerechneten Nullstellen in die normale Funktion ein, um y-Wert des Tiefpunktes zu bestimmen.
Aber du hast zwei Fehler begangen:
1) Du hast den errechneten Nullstellenwert in die 1. Ableitung eingesetzt, nicht in die Ursprungsfunktion.
2) Du machst nicht, was in der Aufgabe steht.

Zitat:

Original von klarsoweit
Als erstes mußt du zeigen, daß an der gefundenen Nullstelle von O'(r) tatsächlich ein (lokales) Minimum ist.

Das ist die momentane Aufgabenstellung. Und zwar musst du zeigen, dass deine gefundene Nullstelle auch wirklich ein Tiefpunkt ist, ohne die 2. Ableitung zu verwenden!

Hier benutzt man die Methode des Vorzeichenwechsels. Wenn deine gefundende Nullstelle ein Tiefpunkt ist, dann geht die Kurve "links" vom Tiefpunkt hinab und "rechts" davon wieder hinauf. Der Tiefpunkt befindet sich also in einer Senke. D.h. dass links vom Tiefpunkt die Steigung negativ und rechts davon positiv ist.

Um das zu überprüfen, musst du nur ein paar Werte grösser bzw. kleiner als 1,42 in die 1. Ableitung einsetzen und ausrechnen. Findet ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt, so ist deine gefundene Nullstelle der 1. Ableitung ein Tiefpunkt der Oberflächenfunktion.

26.03.2007, 09:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Um das zu ergänzen:

Zitat:

Original von MrPSI
1) Du hast den errechneten Nullstellenwert in die 1. Ableitung eingesetzt, nicht in die Ursprungsfunktion.

@die_Hoffnungslose: Wenn du die Nullstelle der 1. Ableitung wieder in die 1. Ableitung einsetzt, dann sollte logischer Null rauskommen. Daß das bei dir nicht der Fall ist, liegt logischerweise daran, daß du mit gerundeten Werten rechnest.

Zitat:

Original von MrPSI
Hier benutzt man die Methode des Vorzeichenwechsels. Wenn deine gefundende Nullstelle ein Tiefpunkt ist, dann geht die Kurve "links" vom Tiefpunkt hinab und "rechts" davon wieder hinauf. Der Tiefpunkt befindet sich also in einer Senke. D.h. dass links vom Tiefpunkt die Steigung negativ und rechts davon positiv ist.

Um das zu überprüfen, musst du nur ein paar Werte grösser bzw. kleiner als 1,42 in die 1. Ableitung einsetzen und ausrechnen. Findet ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt, so ist deine gefundene Nullstelle der 1. Ableitung ein Tiefpunkt der Oberflächenfunktion.

Dazu hatte ich auch schon was gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Und nun der Reihe nach. Erstmal mußt du zeigen, daß bei r=.... ein Minimum ist. Dazu kann man sich überlegen, daß O'(r) eine monoton steigende Funktion ist. Sie ist also rechts von deiner Nullstelle positiv und links davon negativ.

@die_Hoffnungslose: es wäre einfach gut, wenn du die Aufgabe Schritt für Schritt abarbeitest und nicht alles auf einmal machst. Und damit du mal siehst, wie deine Oberflächenfunktion läuft, gibt es einen plot:

Im übrigen ist die rechte Grenze für r 22,5, weil ab da das h negativ wird.

26.03.2007, 14:55

die_Hoffnungslose

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ich hoffe ich bringe euch nicht zum verzweifeln.

ok, noch ein versuch:

Zitat:

Du setzt die ausgerechneten Nullstellen in die normale Funktion ein, um y-Wert des Tiefpunktes zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} O(1,42)= \frac{5}{3} \cdot 1,42^{2} \pi +30\cdot \frac{1}{1,42} =31.684 \end{eqnarray*}$
y=31,684

Zitat:

Um das zu überprüfen, musst du nur ein paar Werte grösser bzw. kleiner als 1,42 in die 1. Ableitung einsetzen und ausrechnen. Findet ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus statt, so ist deine gefundene Nullstelle der 1. Ableitung ein Tiefpunkt der Oberflächenfunktion.

$\begin{eqnarray*} O'(1,5) =\frac{10}{3} \cdot 1,5\pi -\frac{30}{ 1,5^{2}}= 2,3746 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} O'(1,3) =\frac{10}{3} \cdot 1,3\pi -\frac{30}{ 1,3^{2}}= -4,137 \end{eqnarray*}$

Ja, es findet ein VZW statt, heißt O(1,42|31,684) ist ein Tiefpunkt!!

26.03.2007, 15:00

die_Hoffnungslose

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heißt das jetzt ich hab einen Definitionsbereich von ]0;22.5] ?
wie bekomm ich die 22,5 rechnerisch raus?

wie mach ich das jetzt mit lim?

26.03.2007, 15:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Von den Ergebnissen stimmt das jetzt. Ich weiß aber nicht, ob diese Vorgehensweise mit der Berechnung von O'(1,5) und O'(1,3) eine vom Lehrer akzeptierte Begründung für einen VZW ist. Für mich ist nach wie vor die richtig Begründung, daß O'(r) monoton steigend ist, so daß logischerweise an der Nullstelle ein VZW ist.

So. Jetzt mußt du noch die Ränder untersuchen.

26.03.2007, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
heißt das jetzt ich hab einen Definitionsbereich von ]0;22.5] ?
wie bekomm ich die 22,5 rechnerisch raus?

Wir hatten $\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3}r=h \end{eqnarray*}$ .
Logischerweise muß gelten $\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3}r \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Das nach r umstellen.

Kannst du keine Grenzwerte berechnen?

26.03.2007, 17:26

die_Hoffnungslose

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 22,5} O(r) = 2744,302 \end{eqnarray*}$

Bei allen beispielen, die wir im unterricht gemacht haben, haben wir die grenzwerte einfach in die Grundfunktion eingesetzt. Dabei kam immer bei beiden die Null raus.
hier tuts das nicht. jetzt weiß ich nicht wo und ob ich was falsch gemacht hab.
Dann haben wir noch die Nullstelle in die Grundfunktion eingesetzt.
Also: O(1,42)=31,684

Wo ist dann das absolute Minimum? bei 0??? Eigentlich nicht oder? weil ja 0 nicht mehr im Definitionsbereich ist.
Also müsste das minimum bei 1,42 liegen!!

26.03.2007, 18:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r) = 0 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist dieses hier, denn das stimmt nicht. Was macht denn $\begin{eqnarray*} \frac{30}{r} \end{eqnarray*}$ , wenn r gegen unendlich geht?

26.03.2007, 20:06

die_Hoffnungslose

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keine ahnung?

27.03.2007, 00:31

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} O(r) = 0 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist dieses hier, denn das stimmt nicht. Was macht denn $\begin{eqnarray*} \frac{30}{r} \end{eqnarray*}$ , wenn r gegen unendlich geht?

Sollte es nicht r gegen 0 heissen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
keine ahnung?

Keine tolle Antwort. unglücklich

unglücklich

klarsoweit hat sich wohl verschaut, es ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} r \to 0 \end{eqnarray*}$ gefragt.
Überleg mal, was mit $\begin{eqnarray*} \frac{30}{r} \end{eqnarray*}$ passiert, wenn r immer kleiner wird.

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{1}=30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{0.5}=60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{0.1}=300 \end{eqnarray*}$

Na, fällt dir was auf?

27.03.2007, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrPSI
Sollte es nicht r gegen 0 heissen? verwirrt

verwirrt

Ja natürlich. Hatte das gemeint und was anderes geschrieben. Hammer

Hammer

27.03.2007, 14:53

die_Hoffnungslose

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wenn r-->o geht, dann wird es größer. heißt, es kann nicht 0 rauskommen!

Als ich meinem Mathelehrer meine Aufzeichnungen heut gegeben hab, ist ihm was aufgefallen:

Zitat:

Wir hatten $\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3}r=h \end{eqnarray*}$ .

fehlt da nicht das pi? also dass es heißt:
$\begin{eqnarray*} h=15-\frac{2}{3} r^{3} \pi \geq 0 \end{eqnarray*}$
Dann ändert sich auch der Definitionsbereich, oder?

$\begin{eqnarray*} 7,161\geq r^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{7,161} \geq r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,927\geq r \end{eqnarray*}$

]0;1,927] ???

27.03.2007, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \frac{15-\frac{2}{3} r^3 \pi}{r^2 \pi} = h \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Hammer

Wir hatten ja obiges raus. Dann hast du recht.

Und in der Tat wird O(r) für r gegen Null beliebig groß, so daß bei der gefundenen Minimumstelle tatsächlich das globale Minimum ist.

EDIT:

Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} h=15-\frac{2}{3} r^{3} \pi \geq 0 \end{eqnarray*}$

Da ist aber wieder etwas unter den Tisch gefallen. Richtig war:
$\begin{eqnarray*} \pi r^2 h=15-\frac{2}{3} r^{3} \pi \geq 0 \end{eqnarray*}$

27.03.2007, 15:11

die_Hoffnungslose

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

Sieht das jetz so aus?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 1,927} O(r)=35,01 \end{eqnarray*}$
und da die null ja gar nicht zur def-menge gehört, muss ich also was etwas größeres einsetzen?
$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0,1} O(r)=3000,05 \end{eqnarray*}$

und da bei O(r) 31,684 rauskommt, heißt das, dass dort der absolute Tiefpunkt ist. oder?

27.03.2007, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
und da bei O(r) 31,684 rauskommt, heißt das, dass dort der absolute Tiefpunkt ist. oder?

Genau genommen kommt bei O(1,42) 31,684 raus. Sonst ok.

27.03.2007, 15:44

die_Hoffnungslose

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Moment, nochmal:

Also:

ich hab
$\begin{eqnarray*} \pi r^{2} =15-\frac{2}{3} r^{3} \pi \geq 0 \end{eqnarray*}$

hää? gut, ich vin mir nicht sicher, ob man das darf:

$\begin{eqnarray*} 15-\frac{2}{3} r^{3} \pi \geq 0 |+\frac{2}{3} r^{3} \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15\geq \frac{2}{3} r^{3} \pi |:\pi |:\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7,161\geq r^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{7,161} =r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=1,927 \end{eqnarray*}$

darf ich das fehlende r^2pi einfach davorsetzen? dass dann da steht:
$\begin{eqnarray*} r^{2} \pi =1,927 |:\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^{2}=0,6133 \end{eqnarray*}$
r=0,7831

ist das richtig?

Dann hab ich noch einen fehler bei O(0) gemacht:
Da kommt 300,05 raus!

27.03.2007, 15:52

die_Hoffnungslose

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Zitat:

Dann hab ich noch einen fehler bei O(0) gemacht:

tschuldigung es heißt O(0,1)=300,05

27.03.2007, 15:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von die_Hoffnungslose
$\begin{eqnarray*} r=1,927 \end{eqnarray*}$

Bis dahin war es ok. Alles weitere ist Unfug.

27.03.2007, 16:08

die_Hoffnungslose

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wäre es dann richtig, wenn die Definitionsmenge
[0,1;1,927] lauten würde?

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0,1} O(r)= 300,05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 1,927} O(r)= 35,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(1,42)=31,684 \end{eqnarray*}$

und das die richtige Untersuchung zu den Grenzwerten?

Ich glaub wenn das stimmt, hab ich alles, oder??

28.03.2007, 21:35

die_Hoffnungslose

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danke an alle die mir geholfen haben!!!
habs heut abgegeben. mal schaun was rauskommt.
DANKE

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