Ableitung als grenzwert des differenzquotienten

22.03.2007, 20:29

kleenes

Ableitung als grenzwert des differenzquotienten

hallo..
also mein lehrer hat gesagt es kommt folgendes bei uns in der klasur dran kp aba wie das gehen soll:
beweise,dass Ableitung als grenzwert des differenzquotienten definiert ist.wie mach ichn sowas traurig

22.03.2007, 22:27

Ambrosius

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tolle erklärung. was genau meint er? sollst du z.B. für eine Funktion die Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten bilden?

Oder sollst du anschaulich an einem Bildchen erklären wie man auf den Differenzenquotienten kommt?

schau mal bei wiki unter differenzierbarkeit.

ansonsten stelle eine konkretere frage nochmal hier. ich helfe dir gerne, aber leider kann ich mit obigem nicht viel anfangen

22.03.2007, 22:40

Airblader

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Klingelts beim Stichwort $\begin{eqnarray*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ und dem Stichwort Sekante? smile

air
Edit:
Übrigens, cooler Lehrer. Unserer gibt uns die Arbeit vorher nicht! Big Laugh

23.03.2007, 00:07

kleenes

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tolle erklärung. was genau meint er? sollst du z.B. für eine Funktion die Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten bilden?

Oder sollst du anschaulich an einem Bildchen erklären wie man auf den Differenzenquotienten kommt?

ich glaube er meint beides^^
nee nich so ein kuhler lehrer^^er sagt uns 100 themen die dann VLLT dran kommen^^und erklärt uns nie was er genau meint..und wenn man ihn fragt ob das uund das drankommt,dann meint er dann:hmm weiss noch nicht,..mal sehen,vllt
LOL Hammer

23.03.2007, 06:36

Airblader

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Also die Aufgabenstellung sieht mir nach einer Erklärung aus, wie man darauf kommt, dass die Ableitung so definiert wird.

Ich geb dir eine Hilfestellung:

Du willst die Funktion im Punkt P ableiten. Nun wählst du einen 2. Punkt, z.B. Q. Durch diese Punkte legst du eine Gerade, deren Steigung ich ja schon genannt habe (y-Wertedifferenz d. Punkte durch x-Wertedifferenz der Punkte).
Und nun legst du Q immer näher an Q - und zwar infinitesimal nahe (deswegen Limes). So erhälst du eine Gerade, die durch 2 Punkte geht, die praktisch unendlich nah nebeneinander liegen und dies entspricht der Tangente.

air
(Achja: Ich denke, dass das hier nicht als Komplettlösung gilt, denn schließlich geht es um eine theoretische Erklärung. Und selbst wenn es in der Klausur drankommt, denke ich, kann man das ruhig erklären. Auf wikipedia ist es im Endeffekt aber auch nicht anders zu lesen)

23.03.2007, 14:38

brain man

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Mathematisch heißt das, dass du eine Fkt. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gegeben hast, deren Steigung

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha - \beta} \end{eqnarray*}$ du in einem Punkt berechnen willst.

Dazu berechnest du erst die Sekantensteigung d.h. du hast 2 Pkt. gegeben und berechnest die Steigung der Sekante. Durch Grenzübergang :

$\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha \to \beta}\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha - \beta} \end{eqnarray*}$

erhältst du die Steigung im Punkt :

$\begin{eqnarray*} \beta,f(\beta) \end{eqnarray*}$

23.03.2007, 15:40

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Geometrisch Verdeutlicht

Rot : Parabel mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

grün: Gerade mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x+2 \end{eqnarray*}$

grüne Gerade wird auch als Sekante (lat. secare=schneiden) bezeichnet, da es den Graphen von f "durchSCHNEIDET".

Sie schneidet an der Stelle (Schnittpunkte) $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$

Nun können wir die Sekante an einem Schnittpunkt annähern lassen(konvergieren lassen), entweder gegen die Schnittstelle $\begin{eqnarray*} x_1=-2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$
Es entsteht eine Gerade, die den Graphen an einem Schnittpunkt berührt. Das ist die Tangente(lat. tangere=berühren).

oder

Und durch die Ableitung kannst du die Steigung einer solchen Geraden (Tangente) an einer bestimmten Stelle der Funktion f berechnen.
Aber die Steigung kannst du auch durch den Differentialquotienten berechnen.
Also ist die Ableitung das Äquivalente zum Differentialquotienten, nur dass es mit der Ableitung schneller geht.
Die Steigung wird hier auch als Grenzwert bezeichnet.
Man setzt Limes (lat. limes=Grenze), um algebraisch(rechnerisch) zu verdeutlichen, dass es sich hier um eine Annäherung von einem Punkt zum anderen handelt.

24.03.2007, 15:00

kleenes

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sry...aber ich versteh das nicht traurig

kann mir das jemand vllt an einem beispiel erklären?

24.03.2007, 15:16

klarsoweit

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RE: Ableitung als grenzwert des differenzquotienten

Zitat:

Original von kleenes
beweise,dass Ableitung als grenzwert des differenzquotienten definiert ist.

Ein kleiner Widerspruch in sich. Etwas, was definiert wird, kann man nicht beweisen. Die Ableitung wird eben als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert und fertig. Hier nochmal die Definitionen:

Der Differenzenquotient:
Der Term $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ heißt Differenzenquotient und gibt die Steigung der Geraden (Sekanten)
zwischen den Punkten (x0 | f(x0) und (x0 + h | f(x0+h)) an.

Differenzierbarkeit
Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion f heißt differenzierbar (oder auch ableitbar) an der Stelle x0,
genau dann, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert.

Dazu Fragen?

24.03.2007, 15:43

kleenes

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woher nehm ich die punkte (x0 | f(x0) und (x0 + h | f(x0+h)) ?

24.03.2007, 19:10

klarsoweit

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Das x0 ist irgendeine beliebige Stelle. Von mir aus gebe ich dir auch eine vor:
x0 = 3 und f(x) = x².

Mit der Funktionsvorschrift läßt sich aus x0 sofort das f(x0) berechnen.
Dann gehen wir von dem x0 ein kleines Stück - sagen wir h - auf der x-Achse nach rechts oder nach links. Dann sind wir an der Stelle x0 + h. Der Funktionswert an dieser Stelle ist f(x0+h). Jetzt berechnen wir die Steigung m der Geraden durch die Punkte (x0; f(x0)) und (x0+h; f(x0+h)). Das geht bekanntlich mit dem Steigungsdreieck und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{x_0 + h - x_0} = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Jetzt lassen wir das h beliebig klein werden. Wir bilden also den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ Dies ist dann die Steigung der Tangente an die Funktion f im Punkt (x0; f(x0)). Wie gesagt: du kannst das ja mal für die Funktion f(x)=x² und x0 = 3 ausprobieren.

24.03.2007, 20:36

kleenes

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m=f(3+h)-f(3)\h

oder wie mach ich das?dann muss ich das doch dann auflösen oder?und was ist mir h?ich mein ich gehe doch eins nach rechts oder nach links,muss ich dann für h 1 oder so einsetzen?

25.03.2007, 10:44

klarsoweit

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Es wäre schön, wenn du auch Latex verwenden könntest:
$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(3+h)-f(3)}{h} \end{eqnarray*}$

Als nächstes setzt du die Funktion ein. Wir hatten f(x)=x² gewählt.
Dann läßt du das h gegen Null gehen.

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