totale differenzierbarkeit

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gast0 Auf diesen Beitrag antworten »
totale differenzierbarkeit
Hi. Ich versuche gerade, mir eine Anschauung von der totalen Differenzierbarkeit für Funktionen IR^n->IR zu verschaffen.
Totale Differenzierbarkeit ist ja eine Approximierbarkeit durch lineare Funktionen. Die Ableitung ist die wohlbestimmte lineare Funktion, die die abgeleitete Funktion in dem betrachteten Punkt am besten approximiert - falls es so eine lineare Funktion gibt.
Ich habe mir das bis jetzt so vorgestellt, dass es eine Tangentialhyperebene an den Graph der Funktion gibt, in der alle Tangenten in dem Punkt an die Funktion enthalten sind. Aber jetzt habe ich festgestellt, dass das noch nicht für Differenzierbarkeit der Funktion reicht, selbst dann nicht, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass die Funktion in dem Punkt stetig ist.
Wie hat man sich diese Differenzierbarkeit dann also vorzustellen?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Der kleine aber feine Unterschied ist, dass eine Funktion nur dann (total) differenzierbar ist , und somit eine Tangential-Hyperebene "angelegt" werden kann :

wenn zu der Funktion nicht nur im betrachteten Punkt alle partiellen-/richtungs-Ableitungen existieren,

sondern in allen Punkten X, des Definitionsbereiches.

mfg, phi smile
gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt leider auch nicht.
Betrachte die Funktion
Die ist klarerweise für stetig differenzierbar, also existieren da auch alle Richtungsableitungen usw. Und in existieren alle Richtungsableitungen und sind gleich 0, also liegen die Tangenten an den Graphen alle in der xy-Ebene. Trotzdem ist die Funktion nicht im Nullpunkt total differenzierbar. Beweis kann ich wenn gewünscht nachliefern, das Beispiel ist aus "Analysis II" von Barner/Flohr.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Punkt (0,0) liegen eben nicht alle Richtungsableitungen in der xy-Ebene, sondern haben wegen einem "Knick" des Graphen im Ursprung verschiedene Steigungen. ( Genau das wird in dem Beweis gezeigt, vlt. mit Hilfe einer Parametrisierung der Koordinaten).

Edit: Diese Illusion wird dadurch hervorgerufen, dass die 2 partiellen Ableitungen fx=0 und fy=0 eben nur 2 (nicht repräsentative) Richtungen aus dem Kreis aller Richtungen sind.

Aber eine zweite wichtige Feinheit hab ich übersehen:

wenn zu einer Funktion f in allen Punkten X alle partiellen-/richtungs-Ableitungen existieren, und stetig von X abhängen, dann ist f total differenzierbar.


Und das f von oben ist im Ursprung nicht stetig. Bildlich gesprochen hat es dort einen Knick oder Falte.
gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Im Punkt (0,0) liegen eben nicht alle Richtungsableitungen in der xy-Ebene, sondern haben wegen einem "Knick" des Graphen im Ursprung verschiedene Steigungen.

OK, da hast du Recht. Bei dem Beispiel ist es wirklich so. Ich hatte dem Buch einfach geglaubt, das behauptet, dass alle Richtungsableitungen gleich 0 sind.

Zitat:
wenn zu einer Funktion f in allen Punkten X alle partiellen-/richtungs-Ableitungen existieren, und stetig von X abhängen, dann ist f total differenzierbar.

Ja, das stimmt (die partiellen Ableitungen müssen sogar nur in dem betrachteten Punkt stetig sein). Aber es gibt ja auch Funktionen, die total differenzierbar sind und nicht stetig partiell differenzierbar.
Eine andere interessante Funktion:

Die ist ebenfalls für stetig (partiell) differenzierbar, also auch total. An der Stelle ist die Richtungsableitung in eine beliebige Richtung so definiert:


(und zwar für alle )

Hier existieren also tatsächlich alle Tangenten und liegen in der xy-Ebene. Trotzdem ist die Nullabbildung nicht die Ableitung (d.h. es gibt keine), denn dann müsste gleich 0 sein. Ist aber nicht so, wie man sieht, wenn man z.B. eine Folge mit einsetzt : Dann steht da nämlich

Daraus folgt : "stetig partiell differenzierbar" und "alle Tangenten liegen in einer Hyperebene" sind beide nicht 100% geeignete Anschauungen für "total differenzierbar". Womit wir wieder beim Ausgangsproblem wären.
gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Idee hätte ich: In dem Beispiel die Richtungsableitung für eine Richtung auszurechnen bedeutet ja sozusagen, eine Ursprungsgerade durch die xy-Ebene zu betrachten und dann die Änderungsrate des Funktionswertes auszurechnen, wenn man entlang dieser Geraden in die Nähe des Nullpunktes kommt. Anscheinend muss man aber noch andere Wege zur 0 berücksichtigen, z.B. den über die Parabel x=y^2 und dann nachsehen, was mit der Änderungsrate des Funktionswertes passiert, wenn man sich der 0 auf diese Weise nähert. D.h. diese "krummen Tangenten" müssen auch alle in der Ebene liegen, damit die Funktion total differenzierbar ist. Ergibt das Sinn?
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast0
Aber es gibt ja auch Funktionen, die total differenzierbar sind und nicht stetig partiell differenzierbar.


Wenn es so eine Funktion gäbe, stünde sie im direkten Widerspruch zur Definition der totalen Diffbarkeit einer Funktion:

Zitat:
Definition: Eine Abbildung heißt (total) diffbar (global) , wenn sie in allen Punkten von (total) diffbar (lokal) ist.


All diese pathologischen Beispiele zeigen lediglich, das die Umkehrung nicht gilt, d.h.
richtig: total diffbar --> partielle Ableitungen existieren, aber

falsch: partielle Ableitungen existieren --> total diffbar


Im Grunde ist es wie bei den "stetigen Ergänzungen" bei den 1-dim-Funktionen aus der Schule:





Überlege nun was bei f(x) an der Stelle x=2 bzw. bei g(x) an der Stelle x=3 passiert....

Welche der beiden ist an der jeweiligen Stelle stetig ergänzbar (d.h. man kann die Kurve durch ziehen),
und welche nicht ( an der Stelle ist eine Polstelle) ?


P.S. Krumme Tangenten (Taylor) braucht man nicht, es genügt z.B. Tangenten wie f(x)=x zu betrachten. Hauptsache die Richtung ist von (x,0) und (0,y) verschieden.
gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Gefühl, du hast das mit der Differenzierbarkeit im IR^n noch weniger verstanden als ich ^^
Also, es gibt einmal "partiell diff.bar" und "total diff.bar" wobei man mit "diff.bar" soweit ich weiß meistens das zweite meint. Beides sind erstmal nur lokale Eigenschaften.
Die (üblichen) formalen Definitionen findest du bei Wikipedia unter "Differentialrechnung". Deine Definition für "totale Differenzierbarkeit" habe ich noch nie irgendwo gesehen, wo hast du die denn her?
Naja, mir ging es jedenfalls um die "totale Differenzierbarkeit" die du bei Wikipedia findest : Es gibt eine lineare Funktion IR^n->IR, die die Funktion insgesamt gut an dem betrachtetem Punkt approximiert im Unterschied zur partiellen Differenzierbarkeit, die bedeutet, dass in jede der Koordinatenrichtungen die Tangente an den Graphen existiert.
Und wenn man diese Definition voraussetzt, dann folgt aus total differenzierbar ganz gewiss nicht stetig differenzierbar (=stetig partiell differenzierbar). Genauso wie es nicht genügt, für totale Differenzierbarkeit nur die geraden Tangenten zu betrachten (Beweis habe ich ja gestern hingeschrieben).
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich hab das Gefühl, du hast dir meine letzte Post a) nicht genau durchgelesen & b) nicht mit den Definitionen in deinem Buch verglichen.

Beispiel:
Zitat:
(..)dann folgt aus total differenzierbar ganz gewiss nicht stetig differenzierbar (=stetig partiell differenzierbar


Zitat:
Analysis II (S. Hildebrandt) : Satz 1 Wenn f total differenzierbar, dann existieren alle Partiellen Ableitungen.


Die obige Definition ( und Satz 1) steht in Analysis II von Stephan Hildebrandt. Sie kommt gleich hinter der Definition der lokalen Eigenshaft. Und besagt das wenn die lokale Eigenschaft für alle Punkte gilt, wird es zur globalen Eigenschaft der Abbildung.

Ich hab letztes Jahr zu dem Thema 85% der erreichenbaren Punktzahl erreicht. Mir ist also schon klar worum es geht.


Was ist dir denn unklar? ( Falls du den Rat eines 3. Semesters überhaupt hören willst)
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Hey phi, es gibt aber Funktionen die total diffbar. und deren part. Abl. nicht stetig sind.

Die Funktion f mit



außerhalb des Nullpunkts, und f(0,0)=0

ist total diffbar. aber ihre part. Ableitungen sind nicht stetig.
gast0 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht persönlich nehmen Wink Mir scheint wir reden total aneinander vorbei.

Ich habe ja eigentlich ausführlich hingeschrieben was mein Problem ist : ich möchte mir unter differenzierbarkeit etwas vorstellen können sodass die vorstellung mit der definition übereinstimmt. Und auch warum dieses Problem existiert. Ich bezog und beziehe mich dabei immer auf die lokale Eigenschaft, die globale lässt sich ja sowieso darauf zurückführen. also um nochmal zusammenzufassen : erstens es gelten die folgerungen stetig partiell diffbar => total diffbar => partiell diffbar und die umkehrungen i.a. nicht. zweitens folgt aus der tatsache, dass alle tangenten an den graphen der funktion existieren und in einer ebene liegen nicht die totale differenzierbarkeit. was bedeutet, dass es eben nicht reicht nur diese tangenten zu betrachten, um den begriff total diff.bar zu erfassen.
anscheinend war dir ja -genauso wie mir- vorher auch noch nicht so klar, dass der begriff diff.bar im IR^n schwerer anschaulich zu erfassen ist als man vielleicht zuerst annimt (mit tangenten und so). findest du das nicht auch interessant?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

@marcyman:
Nein, dein f(x,y) ist eben nicht total diffbar , eben weil die part. Abl. nicht stetig sind.

Ich wiederhole : All diese Gegenbeispiele sollen uns nur davor warnen den Umkehrschluß zu machen.

Zitat:
D.h. (Buch AII: ) Die Umkehrung von Satz 1 ist nicht richtig, d.h. f braucht nicht im Punkt x total diffbar zu sein, wenn dort alle partiellen Ableitungen existieren; in der Tat muss f nicht einmal in x stetig sein (selbst wenn partielle Ableitungen existieren)



Zu deinem Beispiel: außerhalb von (0,0), also in allen Punkten außer (0,0) ist f lokal total diffbar.

Aber im Punkt (0,0) ist f nicht total diffbar, d.h. global ist f nicht total differenzierbar

Ich hab im Satz 1 aus dem Buch die Lokalität vergessen: Richtig :

Zitat:
Analysis II (S. Hildebrandt) : Satz 1 Wenn f im Punkt x total differenzierbar, dann existieren dort alle Partiellen Ableitungen.



Und genau diese Bedingung wird in f(0,0) nicht erfüllt.

Wenn nur ein einziger Punkt nicht total ist, darf man f auch nicht total nennen.

mfg, phi
phi Auf diesen Beitrag antworten »

@gast0

peace smile

Intressant auf jeden Fall. Veranschaulichen kann man es so:


Dadurch das wir so eine Funktion abschnittsweise definieren, also f(0,0):=0 setzen (um nicht durch Null teilen zu müssen), haben wir den Ursprung von der übrigen Funktion abgekoppelt.

m.a.W, obwohl die Lage des Punktes (0,0) auf dem Graphen liegt, "kümmert" sich das Verhalten von (0,0) überhaupt nicht darum, was in seiner unmittelbaren Umgebung passiert.

Das hast du ja mit dem Beweis aus dem Buch auch schön demonstriert: Wenn man der Folge y_n entlang des Funktionsgraphen folgt, sieht man das wenn es nach der Funktion f(x,y) ginge, müsste f(0,0)=1/2 herauskommen.

Zitat:
stetig partiell diffbar => total diffbar

Das gilt in einem einzelnen Punkt gar nicht.
Global stimmt es nur wenn f in allen Punkten stetig partiell diffbar ist.

Zitat:
dass alle tangenten an den graphen der funktion existieren und in einer ebene liegen

Existieren ja, alle in einer Ebene gilt in unseren Beispielen auf gar keinen Fall.

Hilfreich wäre ein Mathe-Graphik-Programm oder Bilder im Buch, da sieht man das der Ursprung so verknäult, verknickt und in Falten liegt, das unmöglich alle Richtungsableitungen in einer Ebene liegen können.

Die Illusion einer Ebene ensteht, wenn man nur die speziellen Richtungsableitungen in z.B. x- und y-Richtung anschaut (partielle Ableitungen fx, fy).


P.S. Siehst du die Parallelen zur stetigen Ergänzung im 1-Dimensionalen Fall ?
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Hey phi,

es gilt:

f stetig part. diffbar in Umgebung U <=> f ist stetig (total) diffbar in Umgebung U

es gilt nicht:

f nicht stetig part. diffbar in einem Punkt x_0 => f nicht (total) diffbar in einem Punkt x_0

Die Funktion, die ich oben angegeben habe, ist (total) diffbar. Versuchs mal mit der Definition der Diffbarkeit.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier mal die Definition der (totalen) Diffbarkeit in einem Punkt, die ich kenne:

phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,moin,

Zitat:
es gilt:

f stetig part. diffbar in Umgebung U <=> f ist stetig (total) diffbar in Umgebung U

Bei Umgebungen stimme ich dem voll zu. Oben hab ich hinzugefügt, dass dies für einzelne Punkte nicht allgemein gilt. (Was die Beispiele ja auch zeigen)

Zitat:
es gilt nicht:

f nicht stetig part. diffbar in einem Punkt x_0 => f nicht (total) diffbar in einem Punkt x_0

Das hab ich so auch nirgends geschrieben, sondern nochmal :
Im Allgemeinen darf man nicht aus der Existenz der partiellen Ableitungen auf totale Differenzierbarkeit schließen.

Bei gast0's Beispiel liegt es daran, dass dort wo normalerweise ein Pol wäre, einfach f(0,0) gesetzt wurde. Die partiellen Ableitungen sind zwar vorhanden, aber nicht stetig.

d.h. eine stetige Ergänzung ist hier also nicht möglich. Es gibt aber auch "schöne" Funktionen, bei der eine stetige Ergänzung möglich ist:

kann mit f(0,0):=0 stetig fortgesetzt werden. Die Welle in der Mitte sieht aus wie ein schöner großer Melonen-Hut, nach aussen hin werden die Wellen immer kleiner.

Die Funktion, die du oben angegeben hast, ist etwas anders als die von Gast0, hier liegt kein Pol im Ursprung, sondern eine "unendliche Oszillation". (beliebtes Beispiel in Analysis 1: f(x)=sin(1/x) ).
Sie ist in allen Punkten ausser (0,0) (total) diffbar. Im Punkte (0,0) ist f nicht total diffbar, weil der Sinus von (1/x) für x --> 0 immer schneller oszilliert.

Und beim klassifizieren einer Funktion ( Stetig, stetig diffbar, Riemann-integrierbar, ....) erbt eine Funktion nur dann eine Eigenschaft, von ihren Punkten, wenn diese Eigenschaft bei allen Punkten vorliegt. Es sei denn es werden endlich viele Ausnahmen ausdrücklich zugelassen.

Kurz: Eine Abbildung f:U--IR^n heißt total diffbar, wenn sie in allen Punkten von U diffbar ist.

Und (0,0) liegt buchstäblich genau in der Mitte von U.

Das A und O bei diesen Beispielen ist die Frage nach der stetigen Ergänzbarkeit (Stichwort: positiv homogen...), es sind ja genau wie im 1-dimensionalen Fall gebrochen-rationale Funktionen bei denen im Nenner die Null auftaucht.

mfg, phi
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Hey phi,

bitte betrachte doch die Funktion, die ich angegeben habe. Vielleicht haben die fehlenden Klammern beim sinus verwirrt, sorry dafür. Mit der üblichen Grenzwertbetrachtung (wie bei Webfritzis Definition angegeben) läuft es dann auf den Term



hinaus, und der geht gegen 0 für x,y ->0, denn er ist dem Betrage nach nie größer als . Also existiert der geforderte Grenzwert und damit ist auch die (totale) Diffbarkeit im Ursprung gezeigt.

EDIT: Typo
phi Auf diesen Beitrag antworten »

@Marcyman: Was die totale diffbarkeit deiner Funktion angeht nehm ich alles zurück. Der Faktor vor dem Sinus sorgt dafür, das die Oszillationen monoton fallende Amplituden haben.

Aber bei Wikipedia steht genau das was auch in meinem Analysis 2 Buch steht:

Zitat:
Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang:

Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen.

In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein.

Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt x0 nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit.

Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von x0 stetig, dann ist die Funktion in x0 auch total differenzierbar.
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch einwandfrei natürlich, so habe ich das auch gelernt. Wollte mit der sinus Funktion nur hinweisen, dass es diffbare Fkt. ohne stetige part. Ableitungen gibt. Dachte gelesen zu haben du bist da anderer Meinung.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man sieht sind hier viele Dinge zu beachten. Punkt und Umgebung, total und partiell, partiell und Richtung, stetig und nicht stetig. Die Kunst der Mathematik ist es solche Eigenschaften Schritt für Schritt zu untersuchen und nicht alle auf einmal.

Deswegen finde ich es didaktisch unklug mitten in der Klärung von Gegenbeispielen wie sie Gast0 hervorbrachte, gleich mit einem "Gegenbeispiel zum Gegenbeispiel" zu kommen, weil damit dass bei Schülern/Studenten beliebte Spiel "Alles ist unklar, laßt uns den Lehrer mit unserer Verwirrung anstecken..." gefördert wird.


Also Marcymans Funktion ist total diffbar im Ursprung, und übereinstimmend mit der obigen Aussage existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. Nur stetig sind sie dort nicht.

Wenn wir diese Funktion nur auf der x-Achse betrachten, also überall y:=0 setzen, bekommen wir das Analogon im 1-dimensionalen Fall :





Bei Wikipedia ist ein sehr ähnlicher Fall: f(x)(rot) ist stetig, f'(x) (blau) nicht:

Wikipedia
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