Beweis zur Gruppe |
| 03.11.2004, 01:30 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis zur Gruppe ich habe folgendes Problem: Eine (nihct leere) Menge G mit der Verknüpfung o : (a,b) -> a o b heisst Gruppe wenn gilt - a o (b o c) = (a o b) o c für alle a,b,c µ G - Es gibt ein Element e µ G mit e o a = a für alle a µ G. Warum muss man hier nicht auch a o e = a beweisen? -Zu jedem a µ G gibt es ein Element a´in G mit a´ o a = e Warum muss man hier nicht auch a o a´= e beweisen? kann jemand mir bitte helfen und sagen warum man nur eine Seite beweisen mus und nicht die andere? vielen dank im voraus gecko |
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| 03.11.2004, 10:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo geckolux, deine definition der gruppe wird erst dann richtig, wenn du die von dir selbst angemängelten teile einfügst. möchtest du zeigen, dass ein paar (G,°) eine Gruppe ist, so musst du folgende Schritte zeigen: 1. algebraische Abgeschlossenheit 2. Assoziativgesetz 3 existiert ein e aus G mit e°x=x°e=x für alle x [e ist eindeutig, wie man einfach beweisen kann] 4.für jedes Element x aus G existiert ein Inverses y existiert mit x°y=y°x=e [auch das ist eindeutig bestimmt, einfacher beweis] dabei sind 2.-4. die gruppenaxiome und 1. folgt daraus, dass °:GxG->G ist... die andere richtung in 3. und 4. kannst du also nur weglassen, wenn du weißt, dass ° abelsch [kommutativ] ist, dass also für alle x, y aus G gilt: x°y = y°x [dann ist ja die rückrichtung klar]. ansonsten ist sie jeweils notwendig. deine einwände waren also berechtigt; woher hast du denn diese "information", dass du nur zeigen musst, dass e rechtsneutral ist? "e ist rechtsneutral" <=> für alle x aus G x°e=x ; "e ist linkssneutral" <=> für alle x aus G e°x=x ; [das Neutralelement der gruppe ist links- und rechtsneutral] genauso ist das Inverse zu einem Element links- und rechtsinvers..... prüfe also deine quellen nochmal! MFG, jochen |
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| 03.11.2004, 12:29 | eule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt schon, die normale Definition der Gruppe fordert 1) Abgeschlossenheit 2) Assoziativität 3) a*e= e*a=a 4)a*a´=a´*a=e Wahre Minimalisten fordern statt 3) und 4) aber nur 3) e*a=a 4) a´*a=e Wenn man nämlich die Definition einer Gruppe als Axiomensystem der Gruppe auffasst ist sonst nähmlich die unabhängigkeit der Axiome verletzt. Das daraus die oberen Aussagen folgen ist nicht allzuschwer zu zeigen, vieleicht versuchst dus erst mal selber^^. Wenn du also a*e=a benutzen willst must du es schon beweisen. Es ist aber nicht nötig es in der Definition zu fordern |
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| 03.11.2004, 16:30 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Noch ein kleines Problem hy, vielen dank erst mal für die ANtworten, das hat mir shcon sehr geholfen. Mein problem besteht jetzt nur noch aus: a und b, sind dies schon elemete der form: (x,y) oder nur eine einfache ´Zahl´ ? denn wenn es einfache zahlen sind dann gilt ja : a o e = (a,e) e o a = (e,a) und das kann doch nicht dasgleiche werden,....! ich denke ich bin irgendwie voll im falschen film, aber bitte entschuldigt mich dafür 
grüsse gecko |
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| 03.11.2004, 17:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also bei der Definition sind a und b Elemente aus G, ob das zahlen oder tupel oder sonst was sind hängt also rein von G ab. sei G zum Beispiel die natürlichen Zahlen, dann sibnd a und b natürliche zahlen.....
naja, ich glaube, das fasst du einfach falsch auf. ° ist eine Abbildung von 2 Elementen aus G nach G, klar? also ist ° eine Abbildung vom kartesischen Produkt von G mit sich selbst, gerne GxG geschrieben. °: GxG -> G. [allgemeine Definition: seien A, B Mengen: dann ist AxB die Menge aller paare (a,b) mit a aus A und b aus B; AxB = { (a,b) | a aus A und b aus B}; das ganze ist auch für AxBxC (liefert dann Tripel) und für mehr Mengen definiert AxB nennt man das kartesische Produkt von A und B] nun wird also das Paar (x,y) auf x°y abgebildet. x°y ist aber EIN Element aus G. also gilt nicht (a,e) = a°e (WEG DAMIT), sondern °(a,e)= a°e, wobei Kreis eine Funktion ist die du auch vorher umnennen könntest, zum beispiel f. vielleicht ist es dann klarer: f: GxG ->G f(x,y) = x°y ist das besser? hoffe du verstehst das jetzt..... MFG jochen PS: @ Eule: kannst du das nochmal erklären, was du da geschrieben hast? das würde mich interessieren, aber verstanden habe ich deine Aussage nicht.... |
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| 03.11.2004, 17:57 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| blick immer noch nicht ganz durch hy, vielen dank für deine erklärung. hab jetzt die Angabe mal korrekt verstanden. Doch ich blicke immer noch nicht durch wie ich beweisen kann dass: e o a = a o e = a Wenn man die Verknüpfung nicht eindeutig kennt. ich denke ich stehe gerade voll auf der Leitung, sorry gecko |
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| 03.11.2004, 18:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn du zeigen sollst, dass etwas eine Gruppe ist, dann ist die verknüpfung doch gegeben. in der definition ist die Verknüpfung natürlich nicht genauer erläiutert, da sie prinzipiell ja beliebig ist, solange die axiome gelten...... zum beispiel Aufgabe: zeige das (Z,+) eine Gruppe ist...... dann ist die Menge (ganze Zahlen) und die verknüpfung (+, wie wir es kennen) gegeben und du musst die Axiome nachrechnen. wie gesagt, die verknüpfung ist nichts anderes als eine abbildung von GxG nach G, also reicht es im endeffekt alle ergebnisse von GxG abgebildet zu kennen (zum beispiel in einer verknüpfungstabelle). Beispiel dafür: Aufgabe: ist ({a,b},*) eine gruppe? es gilt: a*a=a, a*b=b, b*a=b; b*b=a; nichts konkretes gegeben, aber du hast das ergebnis für die verknüpfung von jedem element der menge mit jedem anderen, damit kannst du die axiome dann nachrechnen. versuche dich doch mal an diesem beispiel und zeige, dass es eine gruppe ist. überlege, was ist das neutrale element? was die inversen? gilt die assoziativität? poste deine lösung ruhig, damit ich sehe, ob (nein dass!!!) du's verstanden hast. viel spaß beim knobeln, jochen |
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| 03.11.2004, 19:51 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| re hy, vielen dank LOED. Also das Prinzip verstrehe ich jetzt ohne weitere Probleme, Danke nochmals. bei deinem Beispiel : gilt die assoziativität das neutrale element ist a die inverses sind immer die elemente selbst: für a,a und für b,b nur will das mit dem GxG -> einfach nicht in meinen Kopf rein und ich verstehe leider immer noch nicht wie ich es dann mache. Danke grüsse gecko |
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| 03.11.2004, 20:09 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oder in deinem Fall: GxG = { (a,b) | a,b aus G} also ist GxG nur eine ander Schreibweise für eine Menge von (geordneten) Paaren mit elementen aus G. und deine Verknüpfung ist eben eine Abbildung, die von einem geordneten Paar auf ein Element geht (du musst doch 2 elemente verknüpfen, mit einem allein kannst du da nicht viel ausrichten) zum beispiel bei (Z,+) [das ist eine gruppe]: (ich nenne die abbildung mal f) f: ZxZ -> Z f(x,y) = x + y dann ist zum beispiel f(3,4) = 3+4 = 7 du musst dich nur dran gewöhnen, dass deine abbildung von 2 elementen auf eines geht, da steckt absolut nichts dahinter... hast du es nun verstanden oder was ist denn genau dein problem damit? mfg, jochen |
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| 03.11.2004, 20:32 | geckolux | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| verstehe jetzt, aber... hy wieder mal danke nochmals an LOED, bin froh dass du dir zeit für mich nimmst!!!
habe jetzt auch das mit der Verknüpfung und so verstanden, aber weiss einfach nicht wie ich beweisen soll dass e o a = a o e denn es z.B: e - a <=> a - e vielleicht haette ich das fühere schon erwähnen müssen dass auch hier mein problem ist, ich entschuldige mich! hoffe ihr könnt mir wieder mal helfen danke ciao gecko |
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| 03.11.2004, 21:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nunja, also deine verknüpfung ist das wohlbekannte minus?! was ist denn dann die menge die deiner gruppe zu grunde liegt? denn zum beispiel (R,-) ist KEINE gruppe, das ist nicht assoziativ, hat kein neutrales element (und dementsprechend auch kein inverses, das ja über das neutrale definiert ist). (R,-) hat 0 nur als rechtsinverses (a-0=a für alle a aus R, aber 0 - a = -a != a für alle a außer 0). ({0},-) ist eine abelsche gruppe..... am besten du schreibst hier mal die genaue aufgabe...... denn zu zeigen, dass ein element das neutrale element ist, funktioniert je nach menge und verknüpfung völlig unterschiedlich.... aber vielleicht hilft dir folgender tip: falls deine gruppe einigermaßen übersichtlich ist (z.b. 2x2-matrizen mit +), dann überlege dir welches das rechtsneutrale element ist (in dem fall die nullmatrix) und zeige, das es auch linksneutral ist (hier ganz einfach...) und musst dich nicht dauernd bedanken, wenn's dir was bringt, mach ich's doch gerne.... jochen |
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