Problem mit einer Mengenaufgabe |
| 03.11.2004, 03:39 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Problem mit einer Mengenaufgabe ich brauche bitte Hilfe bei dieser Aufgabe... "Geben Sie bei jeder der folgenden Aussagen an, ob es sie wahr oder falsch ist:" a.) { } ist Teilmenge von {a} b.) {a, b} ist Element von {a, b, c} c.) 5 ist Element von 25 d.) Z ist Element von N* (Z = Ganze Zahlen / N* = natürliche Zahlen ohne 0) e.) Vereinigungsmenge von 5 und 8 ist 13 f.) {x, y, z} ist Teilmenge von {z, x, y} g.) Differenzmenge von { } und {a, b} = {a, b} h.) Durchschnittsmenge der Teiler von 4 und der Teiler von 8 = Teiler von 8 i.) 0 ist Element von { } j.) { 0 } ist Teilmenge von {0} k.) 0 ist die echte Teilmenge von { 0 } { } = Leere Menge Welche Aussagen sind wahr? Welche Aussagen sind formal richtig, jedoch inhaltlich falsch? Welche Aussagen sind formal falsch? Könnt ihr mir bitte helfen, mir fällt die Aufgabe schwer, vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Lösungen sagen oder wir besprechens gemeinsam... Bitte ich brauche Hilfe 
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| 03.11.2004, 10:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallöchen Qui, musst doch nicht gleich weinen..., ich denke, dass können wir gemeinsam herleiten, oder? sage mir doch erstmal, was es denn bedeutet, wenn eine menge A Teilmenge von B ist..... und was ist denn der unterschied zwischen teilmengen und elementen einer menge? vor allem würde mich mal interessieren, für welche Aufgabenteile du schon Ideen hast.... MFG Jochen ich bin mir grad aber nicht ganz sicher, was die aufgabenstellung unter "formal richtig, jedoch inhaltlich falsch" versteht; die Aussagen sind entweder richtig oder falsch; halbwahrheiten habe ich da nicht entdeckt.... |
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| 03.11.2004, 14:59 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Formal richtig, jedoch inhaltlich falsch beziehe ich mal dadrauf, dass gemeint ist, dass die "Form" der Aufgabe stimmt, sie jedoch beim nachrechnen bzw. anschauen vollkommennen Quark ergibt. zu a.) Irgendwie is die komplett falsch. Weil ne lehre Menge kann doch keine Teilmenge einer weiteren leeren Menge sein oder??? b.) Die Aussage ist formal richtig, jedoch inhaltlich falsch, weil, wenn man eine Zugehörtigkeit (Element von) angeben will, muss links immer ein Element stehen und rechts die Menge. Das ist hier nicht der Fall. Teilmenge wäre hier besser. c.) Die Aussage ist formal richtig, jedoch inhaltlich falsch, weil, wenn man eine Zugehörtigkeit (Element von) angeben will, muss links immer ein Element stehen und rechts die Menge. Das ist hier nicht der Fall. d.) Die Aussage ist wahr. e.) Diese Aussage ist falsch. f.) Diese Aussage ist flasch. g.) Verstehe ich nicht. h.) Diese Aussage ist wahr. i.) Diese Aussage ist falsch. j.) Verstehe ich nicht. k.) Verstehe ich nicht. Bitte die Aussagen überprüfen und ggf. verbessern... Vielleicht könnt ihr mir ja auch sagen, was ich nicht beachtet habe... Qui |
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| 03.11.2004, 15:44 | Robert (Gast) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit einer Mengenaufgabe Hallo! Ich versuche mich mal an dem Menge-Problem: a) Die leere Menge ist immer Teilmenge einer Menge, ergo ist diese Aussage WAHR. Dies ergibt sich dadurch, dass die Potenzmenge einer Menge, also die Menge all ihrer Teilmengen, in ihrer Mächtigkeit immer größer ist, als die Menge selbst. Besitzt eine Menge A die Mächtigkeit 1, so gilt für die Mächtigkeit der Potenzmenge |P(A)|=2 mit P(A)={ {}, A } b) { a, b } ist kein Element, sondern eine Teilmenge von { a, b, c }. Die Aussage ist demnach FALSCH. c) Da Zahlen auch als Mengenbegriff aufgefasst werden können, gilt: 0 = {} 1 = { 0 } = { {} } 2 = { 0; 1 } = { {}, { {} } }; 3 = { 0; 1; 2 } = ... d.h. eine (endliche Zahl) n ist die Menge aller vorhergehenden Zahlen bzw. Mengen. Da hier gefragt ist, ob 5 ein Element von 25 ist so gilt: 25 = { 0; 1; 2; ... ; 23; 24 } Diese Aussage ist also WAHR. d) Auch hier muss wie in Aufgabe b) argumentiert werden: Die Menge der geraden Zahlen ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, kein Element. Die Aussage ist FALSCH. e) Nach der Mengenbetrachtung von Zahlen gilt: 5 = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } 8 = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 } Da die 5 eine echte Teilmenge von 8 ist (sie ist sowohl Teilmenge, als auch Element von 8), gilt: Die Vereinqigung einer Menge A und einer Teilmenge B ergibt die Menge A. Die Vereinigung von 5 und 8 ist demnach 8 und nicht 13. Die Aussage ist FALSCH. f) Die Menge { x; y; z } ist Teilmenge von { z; x; y } (jedoch keine echte Teilmenge). Die Aussage ist WAHR. g) { a; b } / A = { }; Hieraus folgt: A = { a; b }, d.h. die Aussage ist WAHR. h) M(4) = { 1; 2; 4 }; M(8) = { 1; 2; 4; 8 }. Es zeigt sich, dass M(4) echte Teilmenge von M(8) ist. Bildet man den Durchschnitt, so ergibt sich M(4), da diese die weniger mächtige (d.h. die mit weniger Elementen) Menge ist. Die Aussage ist FALSCH. i) Da die leere Menge sich dadurch auszeichnet, dass sie kein Element besitzt, ist die Aussage "e ist Element von { }" immer falsch, auch für e=0. Die Aussage ist demnach FALSCH. j) { 0 } ist Teilmenge von { 0 }, jedoch nur Teilmenge, keine echte Teilmenge. Die Aussage ist WAHR. k) Die Null stellt die leere Menge 0 = {} dar. Die Menge von 0 ist demnach { 0 } = { {} }. Da die leere Menge immer Teilmenge einer Menge ist, ist 0 auch Teilmenge von { 0 }. Die Aussage ist WAHR. Ich hoffe, mir sind bei der Ausführung keine Fehler unterlaufen. Mit freundliche Grüßen |
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| 03.11.2004, 15:54 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wow Robert, die Lösungen sind sehr eindeutig...ich werde sie mal nachprüfen. Nur aufgabe d.) haste falsch verstanden. Es war gefragt, ob der Bereich der Ganzen Zahlen Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Ansonsten scheint das alles korrekt zu sein 
Qui |
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| 03.11.2004, 16:13 | Robert (Gast) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit einer Mengenaufgabe Oh! Stimmt... Aufgabe d) muss nachbearbeitet werden: d) Die Menge der natürlichen Zahlen ist { 1; 2; 3; ... }. Die Menge der ganzen Zahlen schließt die negativen Zahlen mit ein, also { 1; -1; 2; -2; 3; -3; ... }. Hier ist die Menge der ganzen Zahlen größer als die Menge der natürlichen Zahlen, sie kann also nicht deren Element sein. Die Aussage ist also FALSCH. Die Argumentation über die Unterscheidung von Element und Teilmenge führt hier nicht zum Zeit, da eine Zahl sowohl Element, als auch Teilmenge einer anderen (größeren) Zahl ist. |
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| 03.11.2004, 16:25 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe Aussage b.) nicht ganz verstanden. {a, b} ist doch ein Element von {a, b, c} oder nicht? Die Elemente {a, b} sind doch in {a, b, c} enthalten oder??? Frage zu Aussage g.) Leere Menge ist die Differenzmenge von {a, b} Es muss also Elemente der Menge A geben, die keine Elemente der Menge B sind. Muss da nicht Leere Menge herauskommen??? |
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| 03.11.2004, 17:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Definition: Eine Menge A ist TM einer Menge B <=> für alle x aus A gilt x in B okay, sieht prinzipiell gut aus, habe noch ein paar anmerkungen: also a) ist wahr ist auf jeden fall mal richtig, auch wenn ich Roberts Erklärung mit der kardinalität der Potenzmenge hierzu sehr umständlich finde. mit der oberen definition von TM sieht man sofort, dass die leere menge Teilmenge jeder anderen menge ist, denn egal wie die andere Menge aussieht jedes Element aus der leeren Menge (da gibt's halt keins) liegt auch in der anderen. es gibt einfach kein Gegenbeispiel.....
halt vorsicht! deine menge M:={a,b,c} hat 3 Elemente: a und b und c {a,b} ist selbst wieder eine menge, die (in der form der menge) nicht in M vorkommt; wäre deine Menge {{a,b}}, dann wäre {a,b} Element daraus. verstehe es so: deine menge, die du betrachten willst, ist die menge die von den äußeren mengenklammern "begrenzt" wird; ihre Elemente sind die Objekte, die dazwischen duirch Kommata getrennt stehen...... diese können so gut wie jede beliebige Form haben, selbst wieder Mengen sein.... und dann siehst du wohl, dass das objekt {a,b} somit nicht element der menge ist, oder? c) [und andere] also diese Schreibweise war mir völlig neu, solche Mengen auf diese Art mit Zahlen abzukürzen. Aber man lernt ja nie aus...... f) ist ja mit obiger definition sehr einfach als wahr zu identifizieren.... j) okay, also da wird's etwas seltsam; also { 0 } ist die Menge, die die Menge 0 enthält, die wie ich soeben gelernt habe (*g*) die leere menge ist. also ist { 0 } = {{}}; hingegen meint {0} ja wohl die Menge, die nur die 0 enthält?! R. fasst sie eben auch als {{}} auf, aber du lässt da ja extra einmal Abstand und einmal nicht, um das zu unterscheiden, also nehme ich an, das das so gemeint ist. dann ist die aussage aber falsch, da nicht jedes objekt aus { 0 }={{}} in {0} enthalten ist! {} ist element aus {{}}, aber liegt nicht in {0}, da in dieser Menge nur die zahl 0 liegt. k) ist wieder korrekt, aber R. beachtet da nicht das Wort ECHTE teilmenge in seiner begründung. also wir haben die menge { 0 }= {{}}, die menge, die nur die leere menge enthält; wir wollen zeigen das 0 = {} (die menge, die kein element enthält) echte Teilmenge ist. dafür zeigen wir 2 dinge: 1: 0 TM { 0 } und es existiert (mindestens) ein Objekt x in { 0 }, so dass x nicht in 0 liegt. Definition: A echte TM B <=> A TM B und B nicht TM A <=> A TM B und A!=B <=> (für alle x aus A gilt x in B) (*) und (es existiert y in B mit y nicht in A) (**) und dann sehen wir: {} ist eine echte TM von {{}}, da {} Teilmenge aller Mengen [damit ist * bewiesen] und das Objekt {} aus {{}} liegt NICHT in der leeren Menge [das beweist **]; klingt ein bisschen verwirrend, ist aber hoffentlich klar, oder? naja, hoffentlich habe ich dich jetzt nicht ganz verwirrt, sonst melde dich einfach noch mal. MFG jochen oh ich sehe grad du hast editiert und hast noch eine frage, mal schauen: also der begriff differenzmenge ist wohl etwas schwammig, aber ich vermute stark, die Differenzmenge zweier Mengen A und B (A TM B) ist diejenige Menge C, sodass A disjunkt vereinigt mit C = B ist. ich habe dafür auch schon mal das Komplement von A bzgl. B gelesen.... also Beispiel: A = {1,2,3}; B= {1,2,3,4,5} => Differenzmenge C = {4,5}, denn A und C sind disjunkt und A vereinigt C ist B. dann gilt bei deiner Aufgabe: A={}, B= {a,b} und du überlegst: A TM von B, okay, welche Elemente muss C enthalten, damit A und C disjunkt sind und A vereinigt C = B gilt..... das sind einfach alle elemente aus B, die in A fehlen. elemente aus B: a,b elemente aus A: (keine, wie traurig) fehlen also a und b, um A zu b "zu ergänzen" => C hat 2 elemente, und zwar a und b <=> C={a,b} so hoffe, das ist auch klar |
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| 03.11.2004, 18:19 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch ne andere Frage: Wie gebe ich die Menge der durch 4 teilbaren GANZEN Zahlen in beschreibender Form an??? Etwa so? {....-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12....} Noch ne 2. Frage: Geben sie folgende Mengen in beschreibender Form an. B = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} Ich kriege das echt nicht raus, vielleicht einer von euch... |
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| 03.11.2004, 19:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja, das ist nicht gerade sehr beschreibend, oder? Mir fallen spontan folgende möglichkeiten ein: { z aus Z | z mod 4 = 0} oder { z aus Z | es existiert y aus Z mit z=4*y}
okay also in erster Linie sehe ich nichts, was diese zahlen gemein haben könnten, aber ich habe da auf jeden fall mal eine Idee , die die Schreibweise zwar absolut verschlimmert, aber immer hin eine beschreibende Form findet... (und das geht bei endlichen Mengen immer) { x |(x-1)(x-2)(x-4)(x-7)(x-8)(x-14)(x-28)(x-56)=0 } die x als nullstellen eines Polynoms 8. Grades...... okay, war ja nur spaß, nicht gleich lynchen, das war sicher nicht gemeint, ich sehe gerade was anderes, wie wäre es mit B = { x | x = y*2^i, mit i aus {0,1,2,3} und y aus {1,7}} das wäre eingiermaßen schön. MFG jochen |
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| 03.11.2004, 19:37 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Problem mit einer Mengenaufgabe Einwände 0 = {} ist völlig unübliche Symbolik und damit als falsch anzusehen. Die Leere Menge {} wird zwar auch noch mit der durchgestrichenen Null symbolisiert, das hat aber NICHTS mit der Zahl Null zu tun die hin und wieder im PC der bessseren Unterscheidbarkeit wegen gegen klein oder groß o, O, ebenfalls durchstrichen angezeigt wird !! Von der Numerierung 0 = {} usw bleibt somit NICHTS und wie die sich dadurch auftürmenden Verwechslungen zeigen, ist das auch gut so. g) Resultat ist, {} = die Leere Menge i) Falsch j) Richtig k) Falsch |
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| 03.11.2004, 20:57 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, also sind sämtliche natürlichen zahlen deiner meinung nach nicht als mengen anzusehen? das würde zumindest erklären, warum ich das noch nie irgendwie gehört hatte...... *erleichtert* dann wäre ja auch die teile c) und e) völliger humbug.... aber interessieren würde mich trotzdem noch, wo das herkommt? weil immerhin war das ja robert auch geläufig... zu g) Differenzmenge von A und B = A\B, ja klingt gut okay, hätte man sofort finden können, wenn man nach Differenzmenge gegoogelt hätte.... habe mich da ein bisschen mitreißen lassen und versucht das als komplement zu lösen, aber selbst dann wäre die reihenfolge von {} und {a,b} irgendwie falsch gewesen...... asche auf mein haupt.... jochen |
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| 03.11.2004, 23:11 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich möchte mich nochmals bei ALLEN für die Hilfe bedanken. Jedoch was ist nun die Lösung von c und e und g??? 
Sind die Lösungen zu den anderen Aussagen trotzdem korrekt gelöst??? Und habe ich diese 3 Fragen auch mitbeantwortet??? Welche Aussagen sind wahr? Welche Aussagen sind formal richtig, jedoch inhaltlich falsch? Welche Aussagen sind formal falsch? Ich wäre für diese Hilfe sehr dankbar...ihr seid echt SUPER!!! 
€dit: zu d.) Ist die Menge der Ganzen Zahlen nun eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen (ohne 0) oder nicht??? |
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| 04.11.2004, 01:26 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a) richtig b) falsch c) falsch, 5 ist Element von {2 , 5} d) falsch e) falsch, Vereinigungsmenge von {5} und {8} ist {5 , 8} 5 und 8 sind keine Mengen f) richtig, g) falsch, richtig ist {} h) falsch i) falsch j) richtig k) falsch Ist die Menge der Ganzen Zahlen nun eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen (ohne 0) oder nicht??? Die Menge der Ganzen Zahlen ist keine Teilmenge der Nat. Zahlen, sondern genau umgekehrt, die Menge der Natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der Ganzen Zahlen. ( N c Z ) . |
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| 04.11.2004, 09:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
AMEN 
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| 04.11.2004, 17:35 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo
Erstmal möchte ich DANKE sagen, an alle die hier so tatkräftig gerechnet und überprüft haben. Ihr seid echt die Grössten, dass ihr euch immer für uns User Zeit nehmt
Ich habe noch ein anderes Problem: Ich soll 3 Mengen in einem gemeinsamen Diagramm darstellen: D 1 = 10, 11, 12, ,13, 14, 15, 16 D 2 = 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 D 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18 Nun habe ich schon vieles probiert doch ich kriege es net raus... Kann man die 3 Mengen als Teilmengenbeziehung in ein Diagramm setzen (3 Kreise in einem) oder habt ihr andere Vorschläge? Qui |
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| 04.11.2004, 19:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo qui, okay, da stellt sich mir doch erst mal die frage, wie man solche mengen EINZELN in einem diagramm darstellen kann. da wir hier mengen von ganzen zahlen haben, kommt mir als erste idee da sofort ein ausschnitt aus einem zahlenstrahl mit bunt (juhu!) markierten ganzen zahlen, die in der menge liegen.... wenn du sie dann vereinigst, bekommst du einen zahlenstrahl, auf dem ein paar elemente markiert sind und zwar mit insgesamt 3 verschiedenen farben... (und manche elemente habern auch mehr als eine farbe, zum beispiel die 18). daneben eine hübsche legende, welche farbe welche menge darstellt, wunderhübsch! du kannst das auch alternativ als "kreise" darstellen (aber kreise müssen'*s nicht sein), also als "teilflächen der zeichenebene" [mir fällt tatsächlich keine bessere bezeichnung ein dafür, aber du weißt, was ich meine], die sich teilweise überdecken. dabei beachte: es muss ein bereich existieren, der in allen drei flächen liegt! (für die 12) es muss für alle paare von flächen jeweils einen bereich geben, in dem diese beiden flächen liegen und die dritte nicht! (z.b. für fläche zu D1 und fläche zu D2: für die 10 und die 14 und die 16) es muss jede fläche einen bereich haben, der in keiner anderen fläche liegt! (denn jede menge hat ein element, das nicht in den anderen mengen liegt). wenn du magst, kannst du auch noch die zahlen entsprechend eintragen... so also mehr vorschläge hätte ich jetzt auch nicht, aber ich hoffe, das bringt dich schon mal weiter. mfg jochen |
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| 04.11.2004, 21:14 | Qui | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo danke
Habe 3 Kreise gemacht, so wie die Olympischen Ringe. (3 Stück halt). Und dann hab ich immer bunt makiert, wo sich die Mengenkreise schneiden. Und es gibt in der Mitte auch ne Stelle wo sich alle 3 Ringe schneiden. Deine Idee is super und hat mich zur Lösung gebracht... DANKE!!!
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| 18.02.2011, 17:51 | leghorn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Besser spät als nie, mittlerweile sollte es schon lange gelöst sein... Die Menge B = {1,2,4,7,8,14,28,56} stellt die Teiler der Zahl 56 dar
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